如图所示三棱柱所有棱长都为为中点为与交点证明平面证明平面平面若直线与平面所成角的正弦值为求二面角的平面角的余弦值

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3

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[考点]

直线与平面平行，平面与平面垂直，二面角的平面角及求法，

[答案]

（1）（2）见解析；（3）

．

[解析]

（1）证明：取AB₁中点E，连接DE，BE，OE；
因为D，E分别为AC₁和AB₁的中点，所以DE∥B₁C₁，且

，
所以DE∥CO，且DE＝CO，即四边形DEOC为平行四边形，所以CD∥OE，
又因为OE⊂平面AOB₁，CD⊄平面AOB₁，所以CD∥平面AOB₁．
（2）证明：由题意知，

为AB₁的中点，BCDE四点共面，
所以OE⊥AB₁，且BE⊥AB₁，BE，OE⊂平面BCD，所以AB₁⊥平面BCD，
AB₁⊂面AB₁C₁，所以平面BCD⊥平面AB₁C₁．
（3）解：由题意知，BC⊥AO，且BC⊥OB₁，AO，OB₁⊂平面AOB₁，
所以BC⊥平面AOB₁，所以DE⊥平面AOB₁，∠DB₁E为直线DB₁与平面AOB₁所成角，
又

，所以

，
因为B₁C₁⊥面AOB₁，所以△AOB₁为直角三角形，所以

，
在△AOB₁中，

，
以O为原点，作OZ⊥平面BCC₁B₁，以

，

方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：

，

，所以

，
所以

，
设平面A₁CB₁的一个法向量为

，则

，即

，
令z＝1，解得

，所以平面C₁CB₁的一个法向量为

，
记二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角为θ，由图可得θ为锐角，
则

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，平面与平面垂直，二面角的平面角及求法，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166875. （2024•西安八十三中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，AC＝CB＝2，AA₁＝2

，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求二面角A₁﹣CE﹣A的余弦值．

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1.67

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167900. （2024•西安八十九中•三模）如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，∠DAC＝∠AOB．
（1）证明：BE∥平面PAD
（2）求证：平面BEO⊥平面PCD．

共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:1.67

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167452. （2023•雁塔二中•高二上二月）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A﹣MA₁﹣N的正弦值．

共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67

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166367. （2024•长安区一中•高三上四月）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝1，CD＝2，BD₁⊥CD．点M为CD₁的中点，且CD₁＝2BM．
（1）证明：平面BDM⊥平面BCD₁；
（2）若钝二面角B﹣DM﹣C的余弦值为﹣

，当BD₁＞BD时，求BD₁的长．

共享时间:2024-02-12 难度:2 相似度:1.67

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166388. （2024•长安区一中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

共享时间:2024-12-18 难度:2 相似度:1.67

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167602. （2023•新城一中•高二上二月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）若AB＝1，AD＝2，AP＝2，求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．

共享时间:2023-12-19 难度:2 相似度:1.67

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167302. （2023•长安区一中•高三上四月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB＝2．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1.67

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167988. （2023•师大附中•十一模）如图，AB，CD分别是圆台上、下底面的直径，且AB∥CD，点E（异于D，C两点）是下底面圆周上一点，AB＝2

，圆台的高为

．
（1）证明：不存在点E使平面AEC⊥平面ADE；
（2）若DE＝CE＝4，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．

共享时间:2023-07-16 难度:2 相似度:1.67

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．