已知是定义在上的奇函数当且时有成立判断函数的单调性并证明若且对所有恒成立求实数的取值范围

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171762. （2022•师大附中•高一上期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数．当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，有

成立．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）＝1，且f（x）≤m²﹣2bm+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

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[考点]

二次函数的性质与图象，由函数的单调性求解函数或参数，函数恒成立问题，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（Ⅰ）f（x）在[﹣1，1]上为增函数
证明：设x₁，x₂∈[﹣1，1]，且x₁＜x₂，在

中，令a＝x₁，b＝﹣x₂，有

＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁﹣x₂＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x₂）＝﹣f（x₂），∴

＞0
∴f（x₁）﹣f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[﹣1，1]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）＝1 且f（x ）在[﹣1，1]上为增函数，对x∈[﹣1，1]，有f（x）≤f（1）＝1．
由题意，对所有的x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]，有f（x）≤m²﹣2bm+1恒成立，
应有m²﹣2bm+1≥1⇒m²﹣2bm≥0．记g（b）＝﹣2mb+m²，对所有的b∈[﹣1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[﹣1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）＝﹣2mb+m²是减函数，故在[﹣1，1]上，b＝1时有最小值，
且[g（b）]_最小值＝g（1）＝﹣2m+m²≥0⇒m≥2；
若m＝0时，g（b）＝0，这时[g（b）]_最小值＝0满足题设，故m＝0适合题意；
若m＜0时，g（b）＝﹣2mb+m²是增函数，故在[﹣1，1]上，b＝﹣1时有最小值，
且[g（b）]_最小值＝g（﹣1）＝2m+m²≥0⇒m≤﹣2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．

[点评]

本题考查了"二次函数的性质与图象，由函数的单调性求解函数或参数，函数恒成立问题，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170858. （2025•师大附中•高一下期中）已知函数f（x）＝x²﹣（a+6）x+6（a∈R）．
（1）若∀x∈[1，4]，f（x）+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）已知g（x）＝mx+7﹣3m，当a＝1时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）＝g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2025-05-01 难度:2 相似度:1.67

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171827. （2022•西安中学•高一上期中）已知函数f（x）＝x²+ax．
（1）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若对一切a∈[﹣3，3]，f（x）≥a﹣3恒成立，求实数x的取值范围．

共享时间:2022-11-28 难度:2 相似度:1.67

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171694. （2023•西安八十五中•高一上期中）已知函数f（x）＝

．
（1）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并证明你的结论；
（2）求出函数f（x）在[﹣3，﹣1]上的最大值与最小值．

共享时间:2023-11-22 难度:2 相似度:1.67

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169897. （2023•长安区一中•高一上期末）已知函数f（x）＝x²﹣2bx+3，b∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0对一切实数x都成立，求b的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的最小值为1，求b值．

共享时间:2023-02-03 难度:2 相似度:1.67

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170991. （2024•庆安中学（高）•高一上期中）已知函数

，且f（1）＝10，f（3）＝6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[3，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
（3）若不等式f（m²+3）＞10恒成立，求m的取值范围．

共享时间:2024-11-30 难度:3 相似度:1.34

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171695. （2023•西安八十五中•高一上期中）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若任意x∈[1，+∞），g（x）＝f（x）﹣a＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

共享时间:2023-11-22 难度:3 相似度:1.34

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170972. （2024•曲江二中•高一上期中）已知函数

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）若f（x）≤m²﹣5mt﹣5对于任意的x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-11-24 难度:3 相似度:1.34

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171417. （2023•长安区一中•高一上期中）已知f（x）＝ax²+x﹣a，a∈R．
（1）若不等式f（x）＞﹣2x²﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

共享时间:2023-11-15 难度:3 相似度:1.34

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171374. （2023•西安中学•高三上期中）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，a，b∈R且a+b＞0．
（1）若函数f（x）的最小值为1，试证明点（a，b）在定直线上；
（2）若b＝1，x∈[0，1]时，不等式f（x）≤x+5恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-11-22 难度:1 相似度:1.33

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169234. （2025）若存在实数对（a，b），使等式f（x）•f（2a﹣x）＝b对定义域中每一个实数x都成立，则称函数f（x）为（a，b）型函数．
（1）若函数f（x）＝2^x是（a，1）型函数，求a的值；
（2）若函数

是（a，b）型函数，求a和b的值；
（3）已知函数h（x）定义在[﹣2，4]上，h（x）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x∈（1，4]时，

．若h（x）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:1970-01-01 难度:1 相似度:1.33

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169720. （2023•师大附中•高一下期末）已知函数f（x）＝a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）证明：f（2x₁）+f（2x₂）≥2f（x₁+x₂）；
（2）若f（x₁）＝2，f（x₂）＝3，f（x₁x₂）＝8，求a的值；
（3）∀x∈R，

恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.33

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169462. （2024•长安区一中•高一上期末）已知函数

为奇函数．
（1）求实数a的值，并用定义证明函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²+3）+f（t²﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:1.33

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169613. （2024•滨河中学•高一下期末）已知函数y＝f（x）的定义域为R，实数a和b满足a＜b，若y＝f（x）在区间（a，b]上不存在最小值，则称y＝f（x）在（a，b]上具有性质P．
（1）若f（x）＝x²﹣2x，判断函数y＝f（x）在下列区间上是否具有性质P；①（0，2]；②（1，3]；
（2）若f（x+1）＝mf（x）+1对任意实数x都成立，当0＜x≤1时，f（x）＝x，若y＝f（x）在区间（0，2]上具有性质P，求实数m的取值范围；
（3）对于满足a＜b的任意实数a和b，y＝f（x）在区间（a，b]上都有性质P，且对于任意k∈Z，当x∈（k，k+1）时，均满足

．设

，n∈N₊，试判断数列{a_n}的单调性，并说明理由．

共享时间:2024-07-23 难度:1 相似度:1.33

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168968. （2021•交大附中•四模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax﹣2|．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）当x∈[3，4]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2021-04-20 难度:1 相似度:1.33

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171696. （2023•西安八十五中•高一上期中）已知函数f（x）＝﹣4x²+4ax﹣4a﹣a²，求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

共享时间:2023-11-22 难度:1 相似度:1.33

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2022-11-26

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2022-2023学年陕西师大附中高一（上）期中数学试卷

更新:2022-11-26 10:11浏览量:4

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