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167372. (2024•长安区•高二下一月) 已知函数fx)=aexxa
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)≥0恒成立,求a的取值集合;
(3)若存在,且fx1)+x1(1﹣cosx1)=fx2)+x2(1﹣cosx2)=0,求a的取值范围.
共享时间:2024-04-22 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)当a≤0时,fx)在R上单调递减;
a>0时,所以fx)在(﹣∞,﹣lna)上单调递减,在(﹣lna,+∞)上单调递增.
(2){1};
(3)(0,1).
[解析]
解:(1 )f'(x)=aex﹣1,
a≤0时,f'(x)<0,所以fx)在R上单调递减;
a>0时,令f′(x)>0,解得x>﹣lna
f′(x)<0,解得0<x<﹣lna
所以fx)在(﹣∞,﹣lna)上单调递减,
在(﹣lna,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,fx)在R上单调递减;
a>0时,所以fx)在(﹣∞,﹣lna)上单调递减,
在(﹣lna,+∞)上单调递增.
(2)因为f(0)=0,所以a>0.
由(1)可知 fxminf(﹣lna)=1+lnaa
令函数ha)=1+lnaah'(a)=﹣1=
易知 ha)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且 h(1)=0,
要使得fx)≥0恒成立,则 a=1,即a的取值集合为{1}.
(3)因为存在fx1)+x1(1﹣cosx1)=fx2)+x2(1﹣cosx2)=0,
所以 ax1cosx1aax2cosx2a=0,
设函数 gx)=aexxcosxa
gx)在  和  上存在零点.
g′(x)是 gx) 的导数,g“(x) 是 g'(x) 的导数,
g(3)x) 是 g“(x) 的导数.
g'(x)=aex﹣cosx+xsinxg''(x)=aex+2sinx+xcosx
x,若a≤0,则gx)<0,gx)在  上无零点,
a≥1,则 g'(x)>0,所以gx)在   上单调递增,
所以gx)>g(0)=0,gx)在  上无零点,
所以a∈(0,1),此为必要条件,下证充分性:
xg''(x)>0,所以g'(x)在   上单调递增,
g'(0)=a﹣1<0,g'()=a+>0,
g'(x) 先负后正,因此gx)先减后增,由g(0)=0,
可知gx)在区间  上有唯一零点.
xg“(x)=aex+3cosxxsinx
g(3)x)=aex﹣3sinx﹣sinxxcosxaex﹣4sinxxcosx>0.
所以g''(x)在 上单调递增,
g''(﹣)=a<0,g''(0)=a+3>0,可知 g“(x) 先负后正,
因此 g'(x) 先减后增,g'(﹣)=a+>0,g'(0)=a﹣1<0,
可知 g'(x) 先负后正,
因此gx)先增后减,由 g(0)=0,
可知gx)在区间  上有唯一零点,符合题意.
所以a的取值范围为(0,1).
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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172422. (2022•西安中学•高二下期中) fx)=xexax2gx)=lnx+xx2+1﹣
(1)求gx)的单调区间;
(2)讨论fx)零点的个数;
(3)当a>0时,设hx)=fx)﹣agx)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2022-05-17 难度:2 相似度:2
168391. (2023•交大附中•十三模) 已知函数fx)=2xalnx
(1)当a=1时,求函数yfx)的单调区间;
(2)若函数fx)≥(a+2)xxex恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:2
167833. (2024•长安区一中•一模) 已知函数e=2.71828……是自然对数底数).
(1)当a=1时,讨论函数fx)的单调性;
(2)当a>1时,证明:fx)>1﹣ea
共享时间:2024-03-04 难度:2 相似度:2
167902. (2024•西安八十九中•三模) 已知函数,函数在区间[1,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)确定θ的值,求m=3时曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数hx)=fx)﹣gx)在x∈(0,+∞)上是单调函数,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:2
170774. (2020•西安中学•高二下期末) 已知函数fx)=lnxx
(1)若函数yfx)+m﹣2x+x2上恰有两个零点,求实数m的取值范围;
(2)记函数,设x1x2x1x2)是函数gx)的两个极值点,若,且gx1)﹣gx2)≥k恒成立,求实数k的最大值.
共享时间:2020-07-05 难度:2 相似度:2
168013. (2023•师大附中•十模) 已知函数fx)=exxgx)=ax2+1,a∈R.
(Ⅰ)求fx)在区间[﹣2,2]上的最值.
(Ⅱ)当x>0时,恒有fx)>gx),求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:2
169635. (2024•西安三中•高二上期末) 已知函数,其中a>0.
(1)判断函数fx)的单调性;
(2)若gx)=xfx),且当ax2x1x2时,gx1)=gx2),证明:
共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:2
168197. (2023•西工大附中•八模) 已知函数fx)=alnx﹣2xa≠0).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当x>0时,不等式恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:2
170598. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=axexa∈R),
(Ⅰ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)∃x0∈(0,+∞),使不等式fx)≤gx)﹣ex成立,求a的取值范围.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:2
170595. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=ax+b,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0,求
(1)实数ab的值;
(2)函数fx)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:2
168460. (2021•西安中学•七模) 已知函数fx)=
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若x1x2x1x2)是fx)的两个零点,求证:
共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:2
171048. (2025•高新一中•高二下期中) 已知函数fx)=2lnxax2+1(a∈R).
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若存在正数x,使fx)≥0成立,求a的取值范围;
(3)若0<x1x2,证明:对任意a∈(0,+∞),存在唯一的实数x0∈(x1x2),使得成立.
共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:2
168529. (2021•西安中学•六模) 已知函数fx)=lnx+a(1﹣x).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当fx)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.
共享时间:2021-05-18 难度:2 相似度:2
170125. (2023•铁一中学•高三上期末) 设函数fx)=x3﹣(1+ax2+4ax+24a,其中常数a>1
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若当x≥0时,fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:2
170013. (2023•西工大附中•高三上期末) 已知函数fx)=xlnx﹣2x
(1)求函数fx)的最小值;
(2)求函数gx)=fx)+xe的单调区间;
(3)若函数hx)=fx)﹣mxx∈[1,+∞)单调递增,求实数m的取值范围.
共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:2

dygzsxyn

2024-04-22

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2020*西工大*期末
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