[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)f(x)min=2,无最大值.
(2)当a≤0时f(x)在R上单调递减,
当a>0时f(x)在(﹣∞,﹣lna)上单调递减,在(﹣lna,+∞)上单调递增.
[解析]
解:(1)当a=1时f(x)=ex+1﹣x定义域为R,
所以f′(x)=ex﹣1,
令f′(x)=0得x=0,
所以当x<0时f′(x)<0,
当x>0时f′(x)>0,
所以f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在x=0处取得极小值即最小值,
所以f(x)min=f(0)=2,无最大值.
(2)f(x)=a(ex+a)﹣x定义域为R,且f′(x)=aex﹣1,
当a≤0时,f′(x)<0恒成立,
所以f(x)在R上单调递减,
当a>0时,令f′(x)<0解得x<﹣lna,
令f′(x)>0,解得x>﹣lna,
所以f(x)在(﹣∞,﹣lna)上单调递减,在(﹣lna,+∞)上单调递增,
综上可得:当a≤0时f(x)在R上单调递减,
当a>0时f(x)在(﹣∞,﹣lna)上单调递减,在(﹣lna,+∞)上单调递增.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。