已知函数其中若求的值判断函数的零点个数并说明理由设求证

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170149. （2023•铁一中学•高二下期末）已知函数

，其中a＞1．
（1）若a＝2，求

的值；
（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（3）设f（x₀）＝0，求证：

．

共享时间:2023-07-12 难度:1

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组卷

[考点]

函数零点的判定定理，

[答案]

（1）

；
（2）1个零点，理由见详解；
（3）证明见详解．

[解析]

解：（1）当a＝2时，f（x）＝

（x＞0），
∴

；
（2）

，
∵a＞1，x+1＞1，
∴lna＞0，

＜1＜a，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵a＞1，
∴

，
则

＜0，
又

，
由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；
（3）证明：由（2）可知，

，
∵

，
∴

，
∴

，
令

，
则

，
令

，
∵

，
∴f（t）＞g（t），
易知g（t）在

上单调递增，
又a＞1，

，
∴

，
∵

，
∴要证

，只需证

，
即证2t²﹣t+1＜（t²+1）（t+1），
令h（t）＝（t²+1）（t+1）﹣（2t²﹣t+1）＝t³﹣t²+2t，
∵

，
∴h（t）在（0，1）单调递增，
∴h（t）＞h（0）＝0，即（t²+1）（t+1）＞2t²﹣t+1，即

．
综上，

，即

．

[点评]

本题考查了"函数零点的判定定理，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168828. （2021•西工大附中•十二模）已知函数f（x）＝e^x﹣

x²﹣mx﹣1．
（Ⅰ）当m＝1时，求证：x≥0时，f（x）≥0；
（Ⅱ）当m≤1时，试讨论函数y＝f（x）的零点个数．

共享时间:2021-07-26 难度:2 相似度:1.5

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170838. （2020•铁一中学•高一上期末）．已知函数f（x）＝

．
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[﹣1，+∞）上为增函数，求a的范围．

共享时间:2020-02-11 难度:2 相似度:1.5

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166350. （2024•西工大附中•高一上二月）已知f（x）＝a﹣

是R上的奇函数．
（1）求a．
（2）判断f（x）的单调性（不要求证明），并求f（x）的值域．
（3）设关于x的函数

有两个零点，求实数b的取值范围．

共享时间:2024-12-29 难度:3 相似度:1.33

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2023-07-12

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更新:2023-07-12 09:17浏览量:4