已知函数其导函数的图象关于轴对称求实数的值若函数的图象与轴有三个不同的交点求实数的取值范围

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271580. （2022•西安中学•高二上一月）已知函数

，其导函数f'（x）的图象关于y轴对称，

．
（Ⅰ）求实数m，n的值；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣λ的图象与x轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．

共享时间:2022-10-18 难度:1

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[考点]

函数零点的判定定理，

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[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（Ⅰ）f'（x）＝x²+2mx+n．……1分
∵函数f'（x）的图象关于y轴对称，∴m＝0．………2分
又

，解得n＝﹣4．………3分
∴m＝0，n＝﹣4．…………4分
（Ⅱ）问题等价于方程f（x）＝λ有三个不相等的实根时，求λ的取值范围．
由（Ⅰ），得

．∴f'（x）＝x²﹣4．………．．5分
令f'（x）＝0，解得x＝±2．…………6分
∵当x＜﹣2或x＞2时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上分别单调递增．……7分
又当﹣2＜x＜2时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣2，2）上单调递减，…8分
∴f（x）的极大值为

，极小值为

．………．．10分
∴由图可知，实数λ的取值范围为

．………．12分

[点评]

本题考查了"函数零点的判定定理，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

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，其中a＞1．
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（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（3）设f（x₀）＝0，求证：

．

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