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168828. (2021•西工大附中•十二模) 已知函数fx)=exx2mx﹣1.
(Ⅰ)当m=1时,求证:x≥0时,fx)≥0;
(Ⅱ)当m≤1时,试讨论函数yfx)的零点个数.
共享时间:2021-07-26 难度:2
[考点]
函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性,
[答案]
见试题解答内容
[解析]
(本题满分为12分)
解:(Ⅰ)m=1时,,则f'(x)=exx﹣1,…(1)
f''(x)=ex﹣1,…(2),
f''(x)=0,得x=0,
x≥0时,ex≥1,
ex﹣1≥0,即f''(x)≥0,
∴函数yf'(x)在[0,+∞)上为增函数,即当x≥0时,f′(x)≥f′(0)=0,
∴函数yfx)在[0,+∞)上为增函数,即当x≥0时fx)≥f(0)=0.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)和(2)式知,当x≤0时,ex﹣1≤0,
f''(x)≤0,
∴函数f'(x)=exx﹣1的减区间为(﹣∞,0],增区间为(0,+∞),
f'(xminf'(0)=0,
∴对∀x∈R,f'(x)≥0,即exx+1,…(3)
①当x≥﹣1时,x+1≥0,又m≤1,
mx+1)≤x+1,
∴由(3)得exmx+1)≥ex﹣(x+1)≥0,即f'(x)≥0,
∴函数yfxx≥﹣1为增函数,又f(0)=0,
∴当x>0时,fx)>f(0)=0,当﹣1≤x<0时,fx)<f(0)=0,
∴函数yfx)在x≥﹣1时有且仅有一个零点x=0,
②当x<﹣1时,
ⅰ)当0≤m≤1时,﹣mx+1)≥0,ex>0,
f'(x)=exmx﹣1)>0,
∴函数yfx)在x<﹣1时递减,

故0≤m≤1时,函数yfx)在x<﹣1时无零点,
ⅱ)当m<0时,由f'(x)=exmxm,得f''(x)=exm>0,
∴函数yf'(x)在x<﹣1时递增,f'(﹣1)=e﹣1>0,
时,f'(x)<e﹣1mx+1)≤0,
∴由函数零点定理知,使f'(x*)=0,
故当x∈(x*,﹣1)时,0=f'(x*)<f'(x)<f'(﹣1)=e﹣1
x∈(﹣∞,x*)时,f'(x)<f'(x*)=0,
∴函数yfx)的减区间为(﹣∞,x*),增区间为(x*,﹣1),

∴对∀x∈[x*,﹣1),fx)<0,
又当时,
fx)>0,
fx*)<0,
(﹣∞,x*),
再由函数零点定理知∃,使得fx0)=0,
综上所述:当0≤m≤1时,函数yfx)有且仅有一个零点,
m<0时,函数yfx)有两个零点.                    …(12分)
[点评]
本题考查了"函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
169172. (2020•高新一中•三模) 已知函数fx)=lnx+x2+axa∈R),gx)=ex+x2x
(1)讨论fx)的单调性;
(2)定义:对于函数fx),若存在x0,使fx0)=x0成立,则称x0为函数fx)的不动点.如果函数Fx)=fx)﹣gx)存在不动点,求实数a的取值范围.
共享时间:2020-04-01 难度:1 相似度:1.5
170350. (2022•长安区一中•高一上期末) 已知函数
(1)当a=1时,判断fx)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)>0恒成立,求a的取值范围;
(3)讨论fx)零点的个数.
共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.5
169373. (2024•师大附中•高二上期末) 已知函数fx)=x3ax2a2x+5(a∈R).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)有且只有两个零点,求a的值.
共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:1.5
169396. (2024•西安中学•高三上期末) 已知函数fx)=,其中m为正实数.
(1)试讨论函数fx)的单调性;
(2)设gx)=f′(x)+lnxmx2﹣1,若存在x∈[,1],使得不等式gx)<﹣2成立,求m的取值范围.
共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.5
168759. (2021•西安中学•八模) 已知函数gx)是fx)的导函数.
(1)若gx)在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
(2)设Fx)=gx)﹣fx),证明:当时,Fx)有且仅有两个零点.
共享时间:2021-06-14 难度:1 相似度:1.5
169654. (2024•交大附中•高一上期末) 已知实数a>0且a≠1,函数fx)=ax2﹣9x+3.
(1)设函数gx)=fx)﹣x,若gx)在(0,2]上恰有两个零点,求a的取值范围;
(2)设函数hx)=logafx),若hx)在[2,4]上单调递增,求a的取值范围.
共享时间:2024-02-04 难度:1 相似度:1.5
170149. (2023•铁一中学•高二下期末) 已知函数,其中a>1.
(1)若a=2,求的值;
(2)判断函数fx)的零点个数,并说明理由;
(3)设fx0)=0,求证:
共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:1.5
170489. (2022•西工大附中•高二下期末) 设函数fx)=excosxgx)为fx)的导函数.
(Ⅰ)求fx)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[]时,证明fx)+gx)(x)≥0;
(Ⅲ)设xn为函数ux)=fx)﹣1在区间(2nπ+,2nπ+)内的零点,其中n∈N,证明:2nπ+xn
共享时间:2022-07-11 难度:1 相似度:1.5
171866. (2022•西安中学•高二上期中) 已知函数fx)=alnx+xa,(a∈R).
(1)若时,试讨论gx)的单调性;
(2)若hx)=2xlnxfx)有两个零点时,求a的取值范围.
共享时间:2022-11-21 难度:1 相似度:1.5
166759. (2024•建大附中•一模) 若函数fx)在[ab]上存在x1x2ax1x2b),使得f'(x2)=,则称fx)是[ab]上的“双中值函数”,其中x1x2称为fx)在[ab]上的中值点.
(1)判断函数fx)=x3﹣3x2+1是否是[﹣1,3]上的“双中值函数”,并说明理由.
(2)已知函数,存在mn>0,使得fm)=fn),且fx)是[nm]上的“双中值函数”,x1x2fx)在[nm]上的中值点.
①求a的取值范围;
②证明:x1+x2a+2.
共享时间:2024-03-13 难度:1 相似度:1.5
171528. (2024•高新一中•高一下期中) 已知函数fx)=x2x|xa|﹣4aa>0.
(1)若a=2,求fx)的单调区间;
(2)求函数fx)在x∈[0,3]上的最值;
(3)当a∈(0,4)时,若函数fx)恰有两个不同的零点x1x2,求的取值范围.
共享时间:2024-05-26 难度:1 相似度:1.5
171329. (2023•西安中学•高三上期中) 已知函数fx)=(x2﹣2x+aex
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)当a=1时,判断函数gx)=fx)﹣x2+lnx零点的个数,并说明理由.
共享时间:2023-11-28 难度:2 相似度:1
170013. (2023•西工大附中•高三上期末) 已知函数fx)=xlnx﹣2x
(1)求函数fx)的最小值;
(2)求函数gx)=fx)+xe的单调区间;
(3)若函数hx)=fx)﹣mxx∈[1,+∞)单调递增,求实数m的取值范围.
共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1
172290. (2022•师大附中•高二下期中) 已知函数fx)=alnxx+1(a∈R).
(1)当a>0时,求函数fx)的单调区间;
(2)对任意的x1x2∈(0,1],当x1x2时都有,求实数a的取值范围.
共享时间:2022-05-22 难度:2 相似度:1
171736. (2024•西安八十三中•高二下期中) 已知函数fx)=x3x2ax+2在x=1时取得极值.
(1)求函数fx)的单调区间;
(2)求函数fx)在区间[﹣2,2]上的最小值.
共享时间:2024-05-17 难度:2 相似度:1

dygzsxyn

2021-07-26

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