如图在等腰直角三角形中分别是上的点且分别为的中点现将沿折起得到四棱锥连结证明平面在翻折的过程中当时求二面角的余弦值

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170664. （2021•长安区一中•高二上期末）如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A＝90°，AD＝8，AB＝3，B，C分别是PA，PD上的点，且AD∥BC，M，N分别为BP，CD的中点，现将△BCP沿BC折起，得到四棱锥P﹣ABCD，连结MN．

（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）在翻折的过程中，当PA＝4时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

共享时间:2021-02-18 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，二面角的平面角及求法，

[答案]

（1）证明过程见解析；

（2）二面角B﹣PC﹣D的余弦值为

．

[解析]

（1）证明：如图，取PC的中点G，连接MG，NG，
∵M，N分别为BP，CD的中点，
∴MG∥BC∥AD，NG∥PD，
∵MG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MG∥平面PAD，
∵NG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NG∥平面PAD，
而MG∩NG＝G，∴平面MNG∥平面PAD，
则MN∥平面PAD；
（2）解：当PA＝4时，∵AB＝3，PB＝5，
∴PA²+AB²＝PB²，可得PA⊥AB，
由已知可得平面PAB⊥平面ABCD，
又平面PAB∩平面ABCD＝AB，
∴PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（3，0，0），C（3，5，0），P（0，0，4），D（0，8，0），

，

，
设平面PBC的一个法向量为

，
由

，取z＝3，得

；
设平面PCD的一个法向量为

，
由

，取z₁＝2，得

．
∴cos＜

＞＝

．
由图可知，二面角B﹣PC﹣D为钝二面角，
∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，二面角的平面角及求法，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170896. （2024•师大附中•高二上期中）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝t，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t＝1，求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．

共享时间:2024-11-18 难度:2 相似度:2

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166875. （2024•西安八十三中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，AC＝CB＝2，AA₁＝2

，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求二面角A₁﹣CE﹣A的余弦值．

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:2

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169100. （2020•西工大附中•三模）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是一个边长为4的正三角形，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE⊥AC，AE＝2，CD＝3，点P在棱BD上，且BP＝2PD．
（1）求证：EP∥平面ABC；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为

，求MP的长．

共享时间:2020-04-14 难度:2 相似度:2

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171008. （2024•华清中学•高二上期中）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，AC＝CB＝2，AA₁＝2

，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求二面角A₁﹣CE﹣A的余弦值．

共享时间:2024-11-22 难度:2 相似度:2

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168342. （2022•长安区一中•三模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，点O为棱AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CO；
（Ⅱ）若△ABC是等边三角形，且AB＝AA₁，∠A₁AB＝60°，平面AA₁B₁B⊥平面ABC，求二面角A﹣A₁C﹣B的余弦值．

共享时间:2022-04-07 难度:2 相似度:2

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167602. （2023•新城一中•高二上二月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）若AB＝1，AD＝2，AP＝2，求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．

共享时间:2023-12-19 难度:2 相似度:2

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167452. （2023•雁塔二中•高二上二月）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A﹣MA₁﹣N的正弦值．

共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:2

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168549. （2021•西安中学•六模）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC＝BC＝

AA₁＝2，M、N分别为AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）若B₁M＝3

，求二面角B₁﹣A₁M﹣N的余弦值．

共享时间:2021-05-15 难度:2 相似度:2

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167302. （2023•长安区一中•高三上四月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB＝2．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:2

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169418. （2024•西安中学•高三上期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:2

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168895. （2021•高新一中•二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）设

，当λ为何值时，二面角C﹣A′B′﹣P的大小为60°？

共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:2

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166388. （2024•长安区一中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

共享时间:2024-12-18 难度:2 相似度:2

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．