直三棱柱中为中点为中点为中点求证平面求直线与平面夹角的正弦值求平面与平面夹角的余弦值

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167215. （2023•周至四中•高二上一月）直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AB＝AC＝2，AC⊥AB，D为A₁B₁中点，E为AA₁中点，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值；
（3）求平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值．

共享时间:2023-10-15 难度:3

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[考点]

直线与平面平行，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

；（3）

．

[解析]

解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，且AC⊥AB，则A₁C₁⊥A₁B₁，
以A₁A、A₁B₁、A₁C₁所在直线分别为x、y、z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（2，0，2）、A₁（0，0，0）、
B₁（0，0，2）、C₁（0，0，2）、D（0，1，0）、E（1，0，0）、

，
∴

，易知平面ABC的一个法向量为

，
∴

，故

，∵EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC；
（2）由（1）知

，

，
设平面CC₁D的法向量为

，
则

，取

，
∴

，
∴直线BE与平面CC₁D夹角的正弦值为

；
（3）由（1）知

，

，
设平面A₁CD的法向量为

，
则

，取

，
∴

，
∴平面A₁CD与平面CC₁D夹角的余弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167452. （2023•雁塔二中•高二上二月）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A﹣MA₁﹣N的正弦值．

共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67

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166875. （2024•西安八十三中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，AC＝CB＝2，AA₁＝2

，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求二面角A₁﹣CE﹣A的余弦值．

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1.67

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167302. （2023•长安区一中•高三上四月）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝

AB＝2．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求二面角D﹣A₁C﹣E的正弦值．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1.67

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166388. （2024•长安区一中•高二上二月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是矩形，AC⊥AB，AB＝AA₁＝2，AC＝3，∠A₁AB＝120°，E，F分别为棱A₁B₁，BC的中点，G为线段CF的中点．
（1）证明：A₁G∥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣B的余弦值．

共享时间:2024-12-18 难度:2 相似度:1.67

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167602. （2023•新城一中•高二上二月）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）若AB＝1，AD＝2，AP＝2，求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．

共享时间:2023-12-19 难度:2 相似度:1.67

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166487. （2024•铁一中学•高二上一月）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB＝4，AB⊥AC，PB⊥AC．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求PD与平面PAB所成角的大小；
（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-10-27 难度:2 相似度:1.67

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167189. （2023•周至四中•一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB₁＝2，D，E，F分别为AA₁，B₁C₁，AB的中点．
（1）证明：EF∥平面ACC₁A₁；
（2）求直线CE与平面DEF所成角的正弦值．

共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:1.67

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167128. （2023•西安中学•高二上一月）如图1，四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD＝2，∠ADC＝60°，E是CD的中点，将平行四边形ABCD沿着AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2），点G是△ADE的重心，连结AC，BE交于点F．

（1）求证：GF∥平面CDE；
（2）求直线GF与平面BCD所成角的正弦值．

共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:1.67

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167919. （2024•西安工业大学附中•六模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，

，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）求平面CPB与平面PBQ所成角的大小；
（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为

，求点A到平面HBC的距离．

共享时间:2024-05-20 难度:3 相似度:1.34

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167694. （2024•西安中学•五模）如图所示，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁所有棱长都为2，B₁BC＝60°，O为BC中点，D为A₁C与AC₁交点．
（1）证明：CD∥平面AOB₁；
（2）证明：平面BCD⊥平面AB₁C₁；
（3）若直线DB₁与平面AOB₁所成角的正弦值为

，求二面角A₁﹣CB₁﹣C₁的平面角的余弦值．

共享时间:2024-05-09 难度:3 相似度:1.34

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167830. （2024•长安区一中•一模）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-04 难度:3 相似度:1.34

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167564. （2023•关山中学•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁＝AC＝4，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC的中点．请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）试求二面角D﹣CA₁﹣A的余弦值．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.33

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167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．