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169396. (2024•西安中学•高三上期末) 已知函数fx)=,其中m为正实数.
(1)试讨论函数fx)的单调性;
(2)设gx)=f′(x)+lnxmx2﹣1,若存在x∈[,1],使得不等式gx)<﹣2成立,求m的取值范围.
共享时间:2024-02-08 难度:1
[考点]
利用导数研究函数的单调性,
[答案]
(1)当m=0时,在(﹣∞,)上fx)单调递增;在(,+∞)时,fx)单调递减,
m<0时,在(﹣∞,),(,+∞)上,fx)单调递减;在()上,fx)单调递增,
m=2时,在(﹣∞,+∞)上,fx)单调递增,
m>2时,在(﹣∞,),(,+∞)上,fx)单调递增;在()上,fx)单调递减,
当0<m<2时,在(﹣∞,),(,+∞)上,fx)单调递增;在()上,(x)单调递减,
(2)(1,+∞).
[解析]
解:(1)f′(x)=2mx2﹣(m+2)x+1=(2x﹣1)(mx﹣1),
m=0时,f′(x)=﹣2x+1,
在(﹣∞,)时,f′(x)>0,fx)单调递增,
在(,+∞)时,f′(x)<0,fx)单调递减,
m<0时,在(﹣∞,),(,+∞)上,f′(x)<0,fx)单调递减,
在()上,f′(x)>0,fx)单调递增,
m>0时,若,即m=2时,
在(﹣∞,+∞)上,f′(x)≥0,fx)单调递增,
,即m>2时,
在(﹣∞,),(,+∞)上,f′(x)>0,fx)单调递增,
在()上,f′(x)<0,fx)单调递减,
,即0<m<2时,
在(﹣∞,),(,+∞)上,f′(x)>0,fx)单调递增,
在()上,f′(x)<0,fx)单调递减,
综上,当m=0时,在(﹣∞,)上fx)单调递增;在(,+∞)上,fx)单调递减,
m<0时,在(﹣∞,),(,+∞)上,fx)单调递减;在()上,fx)单调递增,
m=2时,在(﹣∞,+∞)上,f′(x)≥0,fx)单调递增,
m>2时,在(﹣∞,),(,+∞)上,fx)单调递增;在()上,fx)单调递减,
当0<m<2时,在(﹣∞,),(,+∞)上,fx)单调递增;在()上,(x)单调递减.
(2)gx)=f′(x)+lnxmx2﹣1=mx2﹣(m+2)x+lnx
若存在x∈[,1],使得不等式gx)<﹣2成立,则[gx)]min<﹣2,
g′(x)=
g′(x)=0,得x1x2
时,即m>2时,
g′(x)>0,得0<x,或x;令g′(x)<0,得x
故函数g′(x)在区间(0,)上单调递增,在()上但递减,在(,+∞)上单调递增,
时,即m=2时,g′(x)≥0恒成立,故gx)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以当m≥2时,在区间[,1]上,gx)单调递增,
所以gxminf)=+ln<﹣2,解得m≥2
时,即0<m<2时,
①若<1时,即1<m<2时,
gx)在区间()上单调递减,在区间(,1)上单调递增,
所以gxming)=+ln=﹣+ln﹣1,
t∈(,1),
ht)=﹣t+lnt﹣1(t<1),则h′(t)=﹣1+>0,
函数ht)在区间(,1)上单调递增,所以ht)<h(1)=﹣2恒成立,
所以ht)<h(1)=﹣2恒成立,所以1<m<2.
②当≥1时,即0<m≤1时,
函数gx)在区间(,1)上单调递减,gxming(1)=﹣2,
所以gxmin<﹣2不成立,
综上所述,m的取值范围是(1,+∞).
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,",属于"基础题",熟悉题型是解题的关键。
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169172. (2020•高新一中•三模) 已知函数fx)=lnx+x2+axa∈R),gx)=ex+x2x
(1)讨论fx)的单调性;
(2)定义:对于函数fx),若存在x0,使fx0)=x0成立,则称x0为函数fx)的不动点.如果函数Fx)=fx)﹣gx)存在不动点,求实数a的取值范围.
共享时间:2020-04-01 难度:1 相似度:2
170350. (2022•长安区一中•高一上期末) 已知函数
(1)当a=1时,判断fx)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)>0恒成立,求a的取值范围;
(3)讨论fx)零点的个数.
共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:2
169373. (2024•师大附中•高二上期末) 已知函数fx)=x3ax2a2x+5(a∈R).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)有且只有两个零点,求a的值.
共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:2
168759. (2021•西安中学•八模) 已知函数gx)是fx)的导函数.
(1)若gx)在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
(2)设Fx)=gx)﹣fx),证明:当时,Fx)有且仅有两个零点.
共享时间:2021-06-14 难度:1 相似度:2
169654. (2024•交大附中•高一上期末) 已知实数a>0且a≠1,函数fx)=ax2﹣9x+3.
(1)设函数gx)=fx)﹣x,若gx)在(0,2]上恰有两个零点,求a的取值范围;
(2)设函数hx)=logafx),若hx)在[2,4]上单调递增,求a的取值范围.
共享时间:2024-02-04 难度:1 相似度:2
170489. (2022•西工大附中•高二下期末) 设函数fx)=excosxgx)为fx)的导函数.
(Ⅰ)求fx)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[]时,证明fx)+gx)(x)≥0;
(Ⅲ)设xn为函数ux)=fx)﹣1在区间(2nπ+,2nπ+)内的零点,其中n∈N,证明:2nπ+xn
共享时间:2022-07-11 难度:1 相似度:2
166759. (2024•建大附中•一模) 若函数fx)在[ab]上存在x1x2ax1x2b),使得f'(x2)=,则称fx)是[ab]上的“双中值函数”,其中x1x2称为fx)在[ab]上的中值点.
(1)判断函数fx)=x3﹣3x2+1是否是[﹣1,3]上的“双中值函数”,并说明理由.
(2)已知函数,存在mn>0,使得fm)=fn),且fx)是[nm]上的“双中值函数”,x1x2fx)在[nm]上的中值点.
①求a的取值范围;
②证明:x1+x2a+2.
共享时间:2024-03-13 难度:1 相似度:2
171866. (2022•西安中学•高二上期中) 已知函数fx)=alnx+xa,(a∈R).
(1)若时,试讨论gx)的单调性;
(2)若hx)=2xlnxfx)有两个零点时,求a的取值范围.
共享时间:2022-11-21 难度:1 相似度:2
171528. (2024•高新一中•高一下期中) 已知函数fx)=x2x|xa|﹣4aa>0.
(1)若a=2,求fx)的单调区间;
(2)求函数fx)在x∈[0,3]上的最值;
(3)当a∈(0,4)时,若函数fx)恰有两个不同的零点x1x2,求的取值范围.
共享时间:2024-05-26 难度:1 相似度:2
171372. (2023•西安中学•高三上期中) 已知函数gx)=x2﹣1﹣xlnx
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若函数fx)有三个零点x1x2x3,求证:gx1)+gx2)+gx3)>0.
共享时间:2023-11-22 难度:2 相似度:1.5
170013. (2023•西工大附中•高三上期末) 已知函数fx)=xlnx﹣2x
(1)求函数fx)的最小值;
(2)求函数gx)=fx)+xe的单调区间;
(3)若函数hx)=fx)﹣mxx∈[1,+∞)单调递增,求实数m的取值范围.
共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1.5
166310. (2024•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=x2+mx+6lnxm∈R).
(1)若曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x﹣1平行,求m的值,并求函数fx)的单调区间;
(2)若函数fx)在定义域上单调递增,求m的取值范围.
共享时间:2024-12-28 难度:2 相似度:1.5
172290. (2022•师大附中•高二下期中) 已知函数fx)=alnxx+1(a∈R).
(1)当a>0时,求函数fx)的单调区间;
(2)对任意的x1x2∈(0,1],当x1x2时都有,求实数a的取值范围.
共享时间:2022-05-22 难度:2 相似度:1.5
169481. (2024•西工大附中•高二上期末) 已知函数fx)=lnx+x2
(1)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数hx)=fx)﹣3x的单调区间.
共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1.5
169528. (2024•铁一中学•高三上期末) 已知函数fx)=ax﹣(a+1)lnxa∈R.
(Ⅰ)若a=﹣2,求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)若a≥1,且fx)>1在区间[e]上恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若a,判断函数gx)=x[fx)+a+1]的零点的个数.
共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1.5

dygzsxyn

2024-02-08

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