如图已知抛物线的焦点为圆与交于两点且四点共线求抛物线的方程设动点在直线上存在一个定点动直线经过点与交于两点直线的斜率分别记为且为定值求该定值和定点的坐标

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169078. （2020•西工大附中•三模）如图，已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）²+（y﹣2）²＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，且k₁+k₂﹣2k₃为定值，求该定值和定点T的坐标．

共享时间:2020-04-06 难度:2

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[考点]

抛物线的标准方程，圆与圆锥曲线的综合，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）由题意知E（3，2），
设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，
则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，
∴|EE′|＝

＝

＝4，
∴3+

＝4，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y²＝4x．
（2）由题意知，直线l的斜率存在，且不为0，
设直线l的方程为x＝ky+t，与y²＝4x联立，得：
y²﹣4ky﹣4t＝0，Δ＝16k²+16t＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（﹣1，y₀），
y₁+y₂＝4k，y₁y₂＝﹣4t，
∴x₁+x₂＝k（y₁+y₂）+2t＝4k²+2t，x₁x₂＝

，
∴k₁+k₂﹣2k₃＝

＝

，
∴k₁+k₂﹣2k₃的值与k，y₀无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．

[点评]

本题考查了"抛物线的标准方程，圆与圆锥曲线的综合，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169058. （2020•西工大附中•一模）已知抛物线C₁：x²＝2py（p＞0）和圆C₂：（x+1）²+y²＝2，倾斜角为45°的直线l₁过C₁的焦点且与C₂相切．
（1）求p的值；
（2）点M在C₁的准线上，动点A在C₁上，C₁在A点处的切线l₂交y轴于点B，设

，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．

共享时间:2020-03-01 难度:1 相似度:1.5

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167672. （2024•西安中学•一模）已知抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，E上任意一点P到F的距离与到点Q（2，0）的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线E的标准方程．
（2）已知过点Q且互相垂直的直线l₁，l₂与E分别交于点A，C与点B，D，线段AC与BD的中点分别为M，N．若直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，求k₁k₂的取值范围．

共享时间:2024-03-11 难度:5 相似度:1.5

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170593. （2021•西安中学•高二上期末）（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为

的双曲线的标准方程；
（2）求经过点P（﹣2，﹣4）的抛物线的标准方程．

共享时间:2021-02-14 难度:5 相似度:1.5

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170916. （2024•滨河中学•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

，圆O：x²+y²＝5，P为圆O上任意一点．
（1）过P作椭圆C的两条切线l₁，l₂，当l₁，l₂与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂的值；
（2）动点Q满足

，设点Q的轨迹为曲线E．
（i）求曲线E的方程；
（ii）过点

作曲线E的两条切线分别交椭圆于R，T，判断直线RT与曲线E的位置关系，并说明理由．

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:1.5

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19775. （2021•陕西省•乙卷）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1

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167304. （2023•长安区一中•高三上四月）已知抛物线H：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣

．
（1）求抛物线H的方程；
（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．
①求证：∠ACB≤

．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1

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168345. （2022•长安区一中•三模）设抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：

交于点M．当|FD|＝2时，∠AFD＝60°．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l₂，与直线l₁交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x₁的值．

共享时间:2022-04-07 难度:2 相似度:1

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168597. （2021•西安中学•九模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：mx+y﹣

＝0经过抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-23 难度:2 相似度:1

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168667. （2021•西安中学•仿真）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线

经过抛物线的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:1

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169011. （2020•西安中学•一模）从抛物线C：x²＝2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x₀，2）在抛物线C上，且|MF|＝3（F为抛物线的焦点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）①求证：四边形PCQD是平行四边形．
②四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1

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169171. （2020•高新一中•三模）已知点O（0，0）、点P（﹣4，0）及抛物线C：y²＝4x．
（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；
（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:1

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172093. （2023•铁一中学•高二下期中）已知F为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知P（x₀，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k_PM•k_PN＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:1

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167718. （2024•西安一中•五模）已知抛物线的方程为y²＝2px，直线x＝﹣1为抛物线的准线，点P（1，2），且A，B为抛物线上的不同两点，若有PA与PB垂直．
（1）求抛物线的方程．
（2）证明：直线AB过定点．

共享时间:2024-05-13 难度:3 相似度:0.83

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2020-04-06

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2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

更新:2020-04-06 04:36浏览量:5

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