已知点点及抛物线若直线过点及抛物线上一点当最大时求直线的方程问轴上是否存在点使得过点的任一条直线与抛物线交于点且点到直线的距离相等若存在求出点的坐标若不存在说明理由

首页 > 试题列表 > 单题解析

169171. （2020•高新一中•三模）已知点O（0，0）、点P（﹣4，0）及抛物线C：y²＝4x．
（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；
（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-04-01 难度:2

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）当过P点与抛物线相切时，即Q为切点时，∠OPQ最大，
显然切线的斜率存在且不为0，设过P的切线方程为：x＝my﹣4，
联立切线与抛物线的方程：

，整理可得：y²﹣4my+16＝0，则Δ＝16m²﹣4×16＝0，解得：m＝±2，
所以∠OPQ最大时求直线l的方程为：x＝±2y﹣4，
即x+2y+4＝0，或x﹣2y+4＝0；
（2）假设存在这样的M满足条件，设M（n，0），因为点M到直线AP、BP的距离相等，
所以M为∠APB的角平分线上的点，所以∠APM＝∠BPM，
所以k_AP+k_BP＝0，
设过M的直线方程为：x＝ty+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线与抛物线的方程：

，整理可得：y²﹣4ty﹣4n＝0，y₁+y₂＝4t，y₁y₂＝﹣4n，
k_AP+k_BP＝

＝

＝0，
所以2ty₁y₂+（n+4）（y₁+y₂）＝0，即2t•（﹣4n）+（n+4）•4t＝0，整理可得t（n﹣4）＝0，
所以不论t为何值，n＝4时都符合条件，
所以x轴上存在M（4，0）使得点M到直线AP、BP的距离相等．

[点评]

本题考查了"抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172093. （2023•铁一中学•高二下期中）已知F为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知P（x₀，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k_PM•k_PN＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

168345. （2022•长安区一中•三模）设抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l：

交于点M．当|FD|＝2时，∠AFD＝60°．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l₂，与直线l₁交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x₁的值．

共享时间:2022-04-07 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

169011. （2020•西安中学•一模）从抛物线C：x²＝2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x₀，2）在抛物线C上，且|MF|＝3（F为抛物线的焦点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）①求证：四边形PCQD是平行四边形．
②四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

168667. （2021•西安中学•仿真）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线

经过抛物线的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-07 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

168597. （2021•西安中学•九模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：mx+y﹣

＝0经过抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-23 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

167718. （2024•西安一中•五模）已知抛物线的方程为y²＝2px，直线x＝﹣1为抛物线的准线，点P（1，2），且A，B为抛物线上的不同两点，若有PA与PB垂直．
（1）求抛物线的方程．
（2）证明：直线AB过定点．

共享时间:2024-05-13 难度:3 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

169395. （2024•西安中学•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

166528. （2024•城关中学•高二上二月）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²＝2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

170302. （2022•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

170465. （2022•西工大附中•高一下期末）如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S₁，S₂．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求

的最小值及此时点G的坐标．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

169216. （2025•师大附中•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

170593. （2021•西安中学•高二上期末）（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为

的双曲线的标准方程；
（2）求经过点P（﹣2，﹣4）的抛物线的标准方程．

共享时间:2021-02-14 难度:5 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

170793. （2020•西安中学•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

166331. （2024•西安中学•高二上二月）已知直线l经过抛物线y²＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB长的最小值．
（3）过抛物线顶点O作两条相互垂直的直线OM，ON分别交抛物线于M，N．证明：直线MN过定点．

共享时间:2024-12-23 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

167672. （2024•西安中学•一模）已知抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，E上任意一点P到F的距离与到点Q（2，0）的距离之和的最小值为3．
（1）求抛物线E的标准方程．
（2）已知过点Q且互相垂直的直线l₁，l₂与E分别交于点A，C与点B，D，线段AC与BD的中点分别为M，N．若直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，求k₁k₂的取值范围．

共享时间:2024-03-11 难度:5 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

dygzsxyn

2020-04-01

高中数学 | | 解答题

下载量
浏览量
收益额

相关试卷 更多>>

2020年陕西省西安市高新一中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

更新:2020-04-01 10:41浏览量:6

普通登录

手机登录

微信扫码立即登录