已知抛物线的方程为直线为抛物线的准线点且为抛物线上的不同两点若有与垂直求抛物线的方程证明直线过定点

首页 > 试题列表 > 单题解析

167718. （2024•西安一中•五模）已知抛物线的方程为y²＝2px，直线x＝﹣1为抛物线的准线，点P（1，2），且A，B为抛物线上的不同两点，若有PA与PB垂直．
（1）求抛物线的方程．
（2）证明：直线AB过定点．

共享时间:2024-05-13 难度:3

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

抛物线的标准方程，抛物线的焦点与准线，直线与抛物线的综合，

[答案]

（1）y²＝4x；
（2）证明见解析．

[解析]

（1）解：因为抛物线的方程为y²＝2px，且直线x＝﹣1为抛物线的准线，
可得

，解得p＝2，所以抛物线的方程为y²＝4x；
（2）证明：由P（1，2）可知P在抛物线上，由A，B为抛物线上的不同两点，且PA与PB垂直，
当直线AB无斜率时，设直线AB为x＝t，其中t≠1，此时

，
则

，
由PA与PB垂直，可得

，
解得t＝5或t＝1（舍取）；
当直线AB有斜率时，设直线AB的方程为y＝kx+b，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组

，整理得k²x²+（2kb﹣4）x+b²＝0，
则

，
因为PA与PB垂直，可得

，即（x₁﹣1）（x₂﹣1）+（y₁﹣2）（y₂﹣2）＝0，
可得（x₁﹣1）（x₂﹣1）+（kx₁+b﹣2）（kx₂+b﹣2）＝0，
即

，
即

，
整理得5k²+（6b﹣8）k+b²﹣4＝0，即（k+b﹣2）（5k+b+2）＝0，
故k+b﹣2＝0或5k+b+2＝0，
当k+b﹣2＝0时，直线AB：y＝kx﹣k+2，此时直线AB过定点（1，2），与P重合（舍去），
当5k+b+2＝0时，直线AB：y＝kx﹣5k﹣2，过定点（5，﹣2），故直线AB过定点（5，﹣2），
综上所述直线AB过定点（5，﹣2）．

[点评]

本题考查了"抛物线的标准方程，抛物线的焦点与准线，直线与抛物线的综合，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172093. （2023•铁一中学•高二下期中）已知F为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．
（1）求抛物线的方程：
（2）已知P（x₀，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k_PM•k_PN＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170033. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（0＜p＜6）的焦点为F，点A（4，m）在抛物线C上，且|AF|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P（1，2），求直线l的方程．

共享时间:2023-02-04 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

169011. （2020•西安中学•一模）从抛物线C：x²＝2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x₀，2）在抛物线C上，且|MF|＝3（F为抛物线的焦点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）①求证：四边形PCQD是平行四边形．
②四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

169148. （2020•西工大附中•二模）已知F为抛物线E：y²＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为

的直线l₁与抛物线E相交于A、B两点，且|AB|＝12，过点F且斜率为

的直线l₂与抛物线E相交于C、D两点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若点A和C均在第一象限，求证：抛物线E的准线、直线AC和直线BD三线共点．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

169171. （2020•高新一中•三模）已知点O（0，0）、点P（﹣4，0）及抛物线C：y²＝4x．
（1）若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；
（2）问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

169331. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l与抛物线y²＝2x分别交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求证：x₁x₂为定值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170012. （2023•西工大附中•高三上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），点A（4，﹣1），P为抛物线上的动点，直线l为抛物线的准线，点P到直线l的距离为d，|PA|+d的最小值为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与抛物线相交于M，N两点，与y轴相交于Q点，当直线AM，AN的斜率存在，设直线AM，AN，AQ的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在实数λ，使得

，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170060. （2023•西工大附中•高二上期末）已知抛物线x²＝2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．
（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；
（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．

共享时间:2023-03-01 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

168597. （2021•西安中学•九模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：mx+y﹣

＝0经过抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

共享时间:2021-06-23 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170644. （2021•长安区一中•高二上期末）．已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-28 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170666. （2021•长安区一中•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

171030. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

171504. （2023•铁一中学•高二上期中）已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

171592. （2023•西安三中•高三上期中）已知F为抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为﹣1，△OFM的面积为4．
（1）求C的方程；
（2）抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

dygzsxyn

2024-05-13

高中数学 | | 解答题

下载量
浏览量
收益额

相关试卷 更多>>

2024年陕西省西安一中高考数学五模试卷（文科）

更新:2024-05-13 04:56浏览量:6

普通登录

手机登录

微信扫码立即登录