已知抛物线的焦点为且与圆上点的距离的最小值为求若点在上为的两条切线是切点求面积的最大值

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19775. （2021•陕西省•乙卷）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2021-06-21 难度:4

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[考点]

直线与抛物线的综合，圆与圆锥曲线的综合，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）点

到圆M上的点的距离的最小值为

，解得p＝2；
（2）由（1）知，抛物线的方程为x²＝4y，即

，则

，
设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则易得

，从而得到

，
设l_AB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x²﹣4kx﹣4b＝0，
∴△＝16k²+16b＞0，即k²+b＞0，且x₁+x₂＝4k，x₁x₂＝﹣4b，
∴P（2k，﹣b），
∵

＝

，

，
∴

①，
又点P（2k，﹣b）在圆M：x²+（y+4）²＝1上，故

，代入①得，

，
而y_p＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，
∴当b＝5时，

．

[点评]

本题考查了"圆与圆锥曲线的综合,直线与抛物线的综合"，属于"必考题"，熟悉知识点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169216. （2025•师大附中•高二上期末）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0）的焦点为F．且F与圆M：x²+（y+4）²＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线．A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:1.5

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170916. （2024•滨河中学•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

，圆O：x²+y²＝5，P为圆O上任意一点．
（1）过P作椭圆C的两条切线l₁，l₂，当l₁，l₂与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂的值；
（2）动点Q满足

，设点Q的轨迹为曲线E．
（i）求曲线E的方程；
（ii）过点

作曲线E的两条切线分别交椭圆于R，T，判断直线RT与曲线E的位置关系，并说明理由．

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:1.5

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170148. （2023•铁一中学•高二下期末）已知曲线C上任意一点M满足|MF₁|﹣|MF₂|＝2，且F₁（﹣2，0），F₂（2，0）．
（1）求C的方程；
（2）设A（﹣1，0），B（1，0），若过F₂（2，0）的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R．证明：点R在定直线上．

共享时间:2023-07-12 难度:1 相似度:1.5

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169058. （2020•西工大附中•一模）已知抛物线C₁：x²＝2py（p＞0）和圆C₂：（x+1）²+y²＝2，倾斜角为45°的直线l₁过C₁的焦点且与C₂相切．
（1）求p的值；
（2）点M在C₁的准线上，动点A在C₁上，C₁在A点处的切线l₂交y轴于点B，设

，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．

共享时间:2020-03-01 难度:1 相似度:1.5

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170302. （2022•西安中学•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k₁，k₂．若k₁+k₂＝0，求点B的坐标；
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求

的值．

共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:1.5

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170465. （2022•西工大附中•高一下期末）如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S₁，S₂．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求

的最小值及此时点G的坐标．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.5

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169395. （2024•西安中学•高三上期末）已知抛物线C：y²＝2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.5

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170793. （2020•西安中学•高二上期末）已知过抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，斜率为2

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，且|AB|＝9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

＝

+λ

，求λ的值．

共享时间:2020-02-24 难度:1 相似度:1.5

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167604. （2023•新城一中•高二上二月）如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）²+y²＝4的圆心恰是抛物线的焦点．
（1）求抛物线的方程；
（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．

共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:1.5

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171481. （2023•西工大附中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2＝0，抛物线C：y²＝2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q，求线段PQ的中点M的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.5

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166528. （2024•城关中学•高二上二月）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²＝2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求证：OM⊥ON．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

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166331. （2024•西安中学•高二上二月）已知直线l经过抛物线y²＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
（1）若|AF|＝4，求点A的坐标；
（2）求线段AB长的最小值．
（3）过抛物线顶点O作两条相互垂直的直线OM，ON分别交抛物线于M，N．证明：直线MN过定点．

共享时间:2024-12-23 难度:1 相似度:1.5

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171030. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

的圆与C的准线相切．
（2）若动直线l：y＝kx+2与C相交于M，N两点，点P（t，﹣2）满足OP⊥l（O为坐标原点），且直线PM，PN的斜率之和为2k．
（i）求C的方程；
（ii）过点Q作C的切线l′，若l′∥l，求△MPQ的面积的最小值．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1

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171049. （2025•高新一中•高二下期中）已知抛物线C：x²＝2py（p＞0），Q为C上一点．
（1）证明：以点Q为圆心且过点

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1

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170666. （2021•长安区一中•高二上期末）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，|PQ|的最小值为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若OP⊥OQ，证明：直线PQ恒过定点．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1

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dgys2020

2021-06-21

高中数学 | | 解答题

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2021年陕西省高考数学（理科）试卷（全国乙卷）

更新:2021-06-21 09:41浏览量:602

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