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169125. (2020•西工大附中•三模) 已知函数fx)=﹣lnx+x2cosx+1.证明:
(1)fx)在区间上存在唯一的零点.
(2)对任意x∈(0,+∞),都有fx)+2xlnx+xx2cosx+1.
共享时间:2020-04-03 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)证明见解答过程;
(2)证明见解答过程.
[解析]
证明:(1)fx)=﹣lnx+x2cosx+1,x∈(,π),
f′(x)=﹣+2xcosxx2sinx<0在x∈(,π)上恒成立,
fx)在(,π)上单调递减,
f)=﹣ln+1=lnln1=0,
f(π)=﹣lnπ﹣π2+1<0,
ff(π)<0,
fx)在区间上存在唯一的零点;
(2)要证对任意x∈(0,+∞),都有fx)+2xlnx+xx2cosx+1,
只要证﹣lnx+x2cosx+1+2xlnx+xx2cosx+1恒成立,
只要证2xlnxlnx+x>0恒成立,
gx)=2xlnxlnx+xx>0,
g′(x)=2(1+lnx)﹣+1=3+2lnx
hx)=3+2lnxx>0,
h′(x)=+>0恒成立,
g′(x)=hx)在(0,+∞)上单调递增,
g′()=3﹣2﹣e=1﹣e<0,g′(1)=3﹣1=2>0,
∴存在x0∈(,1)使得g′(x0)=3+2lnx0=0,
∴当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,函数gx)单调递减,
x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,函数gx)单调递增,
gxmingx0)=2x0lnx0lnx0+x0=﹣lnx0﹣2x0+1,
易知gx0)=﹣lnx0﹣2x0+1在(,1)上单调递减,
gx0ming(1)=0﹣0+1=1>0,
∴2xlnxlnx+x>0恒成立,
∴对任意x∈(0,+∞),都有fx)+2xlnx+xx2cosx+1.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
172422. (2022•西安中学•高二下期中) fx)=xexax2gx)=lnx+xx2+1﹣
(1)求gx)的单调区间;
(2)讨论fx)零点的个数;
(3)当a>0时,设hx)=fx)﹣agx)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2022-05-17 难度:2 相似度:2
168391. (2023•交大附中•十三模) 已知函数fx)=2xalnx
(1)当a=1时,求函数yfx)的单调区间;
(2)若函数fx)≥(a+2)xxex恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:2
167833. (2024•长安区一中•一模) 已知函数e=2.71828……是自然对数底数).
(1)当a=1时,讨论函数fx)的单调性;
(2)当a>1时,证明:fx)>1﹣ea
共享时间:2024-03-04 难度:2 相似度:2
167902. (2024•西安八十九中•三模) 已知函数,函数在区间[1,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)确定θ的值,求m=3时曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数hx)=fx)﹣gx)在x∈(0,+∞)上是单调函数,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:2
170774. (2020•西安中学•高二下期末) 已知函数fx)=lnxx
(1)若函数yfx)+m﹣2x+x2上恰有两个零点,求实数m的取值范围;
(2)记函数,设x1x2x1x2)是函数gx)的两个极值点,若,且gx1)﹣gx2)≥k恒成立,求实数k的最大值.
共享时间:2020-07-05 难度:2 相似度:2
168013. (2023•师大附中•十模) 已知函数fx)=exxgx)=ax2+1,a∈R.
(Ⅰ)求fx)在区间[﹣2,2]上的最值.
(Ⅱ)当x>0时,恒有fx)>gx),求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:2
169635. (2024•西安三中•高二上期末) 已知函数,其中a>0.
(1)判断函数fx)的单调性;
(2)若gx)=xfx),且当ax2x1x2时,gx1)=gx2),证明:
共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:2
168197. (2023•西工大附中•八模) 已知函数fx)=alnx﹣2xa≠0).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当x>0时,不等式恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:2
170598. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=axexa∈R),
(Ⅰ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)∃x0∈(0,+∞),使不等式fx)≤gx)﹣ex成立,求a的取值范围.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:2
170595. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=ax+b,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0,求
(1)实数ab的值;
(2)函数fx)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:2
168460. (2021•西安中学•七模) 已知函数fx)=
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若x1x2x1x2)是fx)的两个零点,求证:
共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:2
171048. (2025•高新一中•高二下期中) 已知函数fx)=2lnxax2+1(a∈R).
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若存在正数x,使fx)≥0成立,求a的取值范围;
(3)若0<x1x2,证明:对任意a∈(0,+∞),存在唯一的实数x0∈(x1x2),使得成立.
共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:2
168529. (2021•西安中学•六模) 已知函数fx)=lnx+a(1﹣x).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当fx)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.
共享时间:2021-05-18 难度:2 相似度:2
170125. (2023•铁一中学•高三上期末) 设函数fx)=x3﹣(1+ax2+4ax+24a,其中常数a>1
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若当x≥0时,fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:2
170013. (2023•西工大附中•高三上期末) 已知函数fx)=xlnx﹣2x
(1)求函数fx)的最小值;
(2)求函数gx)=fx)+xe的单调区间;
(3)若函数hx)=fx)﹣mxx∈[1,+∞)单调递增,求实数m的取值范围.
共享时间:2023-02-15 难度:2 相似度:2

dygzsxyn

2020-04-03

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