在三棱柱中是棱长为的正四面体则点到平面的距离为

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168095. （2023•西工大附中•十三模）在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，A₁﹣ABC是棱长为2的正四面体，则点A到平面BCC₁B₁的距离为（　　）

A.．

C.．

D.．1

共享时间:2023-07-20 难度:1

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[考点]

空间中点到平面的距离，

[答案]

[解析]

解：分别取BC、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、A₁N、A₁M，如下图所示：

由题意可知，因为四面体A₁﹣ABC是棱长为2的正四面体，
则△ABC是边长为2的等边三角形，则AM⊥BC，故

，
同理可得

，A₁M⊥BC，
因为BB₁∥CC₁且BB₁＝CC₁，
所以四边形BB₁C₁C为平行四边形，则BC∥B₁C₁且BC＝B₁C₁，
因为M、N分别为BC、B₁C₁的中点，则BM∥B₁N且BM＝B₁N，
所以四边形BB₁NM为平行四边形，所以MN∥BB₁且MN＝BB₁，
又BB₁∥AA₁且BB₁＝AA₁，所以，MN∥AA₁且MN＝AA₁，
所以四边形AA₁NM为平行四边形，则MN＝AA₁＝2，且A、A₁、N、M四点共面，
因为AM⊥BC，A₁M⊥BC，AM∩A₁M＝M，AM、A₁M⊂平面AA₁NM，
所以BC⊥平面AA₁NM，
过点A₁在平面AA₁NM内作A₁H⊥MN，垂足为点H，
因为A₁H⊂平面AA₁NM，所以A₁H⊥BC，
又因为A₁H⊥MN，MN∩BC＝M，MN、BC⊂平面BB₁C₁C，则A₁H⊥平面BB₁C₁C，
在△A₁MN中，

，

，MN＝AA₁＝2，
由余弦定理可得

，
所以

，
因此点A₁到平面BB₁C₁C的距离为

．
因为AA₁∥BB₁，AA₁⊄平面BB₁C₁C，BB₁⊂平面BB₁C₁C，所以AA₁∥平面BB₁C₁C，
所以点A到平面BB₁C₁C的距离等于

．
故选：C．

[点评]

本题考查了"空间中点到平面的距离，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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