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首页 > 试题列表 > 单题解析
168966. （2021•交大附中•四模） 已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）﹣sinx．
（1）证明：函数f（x）在区间（0，π）上存在唯一的极小值点；
（2）证明：函数f（x）有且仅有两个零点．
共享时间:2021-04-20 难度:1
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[考点]
利用导数研究函数的极值，
[答案]
（1）（2）详见证明过程．
[解析]
证明：（1）∵f（x）＝x﹣ln（x+1）﹣sinx，
∴f′（x）＝1﹣﹣cosx，
令φ（x）＝1﹣﹣cosx，
则φ′（x）＝+sinx，
∵x∈（0，π），∴φ′（x）＝+sinx＞0，
∴f′（x）在（0，π）上单调递增，
又f′（0）＝1﹣1﹣cos0＝﹣1＜0，f′（π）＝1﹣﹣cosπ＝2﹣＞0，
故存在唯一x0∈（0，π），使得f′（x0）＝0，
当x∈（0，x0），f′（x）＜0，x∈（x0，+∞），f′（x）＞0，
故f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
故f（x）在区间（0，π）上存在唯一的极小值点．
（2）函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），
f′（x）＝1﹣﹣cosx，
①当x∈（﹣1，0）时，∵≤0，cosx＞0，
∴f′（x）＝﹣cosx＜0，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，
又f（0）＝0，∴f（x）≥0，故此时f（x）的零点为x＝0；
②当x∈（0，π）时，f（π）＝π﹣ln（π+1）＞π﹣lne2＝π﹣2＞0，
f（）＝﹣ln（+1）﹣﹣sin＝﹣ln（+1）﹣
＜﹣ln2﹣＜﹣ln﹣＝﹣﹣
＜﹣﹣＝﹣＝＜0，
由（1）知，函数f（x）在区间（，π）上有唯一零点；
③当x∈（π，+∞）时，令g（x）＝x﹣ln（x+1），x∈（π，+∞），
则g′（x）＝1﹣＝＞0，
∴g（x）在（π，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（π）＝π﹣ln（π+1）＞π﹣lne2＝π﹣2＞1，
又sinx≤1，故对任意x∈（π，+∞），都有f（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（π，+∞）上没有零点，
综上，函数f（x）有且仅有2个零点．
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的极值，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。
转载声明：
本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！ ！版权申诉
169740. （2023•师大附中•高二下期末） 已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在点P（1，2）处的切线斜率为4，且在x＝﹣1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）+m﹣1有三个零点，求m的取值范围．
共享时间:2023-07-03 难度:1 相似度:2
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169439. （2024•西安中学•高二下期末） 已知函数f（x）＝x2﹣alnx（a∈R）．
（1）若a＝2，求f（x）的极值；
（2）若函数g（x）＝f（x）+（1﹣2a）x恰有两个零点，求a的取值范围．
共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2
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167305. （2023•长安区一中•高三上四月） 已知函数，a＞0．
（1）讨论f（x）极值点的个数；
（2）若f（x）恰有三个零点t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）和两个极值点x1，x2（x1＜x2）．
（ⅰ）证明：f（x1）+f（x2）＝0；
（ⅱ）若m＜n，且mlnm＝nlnn，证明：．
共享时间:2023-02-23 难度:1 相似度:2
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169485. （2024•西工大附中•高二上期末） 已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．
（1）设函数g（x）＝f（x）﹣x2，若函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且，求f（x1）﹣f（x2）的取值范围．
共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:2
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167369. （2024•长安区•高二下一月） 已知函数在x＝5处取得极小值，且极小值为﹣33．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，0]上的值域．
共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:2
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172095. （2023•铁一中学•高二下期中） 已知函数f（x）＝e﹣x（x2+3x+3）﹣m（x2+2x﹣3）（e≈2.71828是自然对数的底数），若函数f（x）有3个极值点x1，x2，x3，（x1＞x2＞x3）．
（1）求实数m的取值范围；
（2）证明：．
共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:1.5
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168896. （2021•高新一中•二模） 已知a∈R，函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）．
（Ⅰ）若a＝，求函数y＝|f（x）|的极值点；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤﹣恒成立，求a的取值范围．（e为自然对数的底数）
共享时间:2021-03-23 难度:2 相似度:1.5
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169552. （2024•铁一中学•高二上期末） 已知函数f（x）＝（x2+mx+n）ex．
（1）若m＝n＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若m＝a+b，n＝ab，且f（x）有两个极值点，分别为x1和x2（x1＜x2），求的最大值．
共享时间:2024-02-22 难度:2 相似度:1.5
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169971. （2023•长安区一中•高二上期末） 已知函数有两个不同的极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围．
（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．
（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．
共享时间:2023-02-13 难度:2 相似度:1.5
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169947. （2023•长安区一中•高二上期末） 已知函数有两个不同的极值点x1，x2．
（1）求a的取值范围．
（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．
（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．
共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:1.5
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168689. （2021•西安中学•仿真） 已知函数f（x）＝xsinx+cosx+．
（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；
（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．
共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:1.5
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170394. （2022•长安区一中•高二下期末） 已知函数f（x）＝ax+cosx（0≤x≤π，a∈R）．
（1）当时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：．
共享时间:2022-07-21 难度:2 相似度:1.5
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170662. （2021•长安区一中•高二上期末） 已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+x（a∈R）在x＝1处有极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1.5
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170796. （2020•西安中学•高二上期末） 已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣（a＞0）
（1）若a＝l，求f（x）的极值；
（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
共享时间:2020-02-24 难度:2 相似度:1.5
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171593. （2023•西安三中•高三上期中） 已知函数f（x）＝aex﹣x+lna﹣2．
（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x﹣ln（x+2）有两个零点，求a的取值范围．
共享时间:2023-11-26 难度:2 相似度:1.5
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dygzsxyn

2021-04-20

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