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168966. (2021•交大附中•四模) 已知函数fx)=xlnx+1)﹣sinx
(1)证明:函数fx)在区间(0,π)上存在唯一的极小值点;
(2)证明:函数fx)有且仅有两个零点.
共享时间:2021-04-20 难度:1
[考点]
利用导数研究函数的极值,
[答案]
(1)(2)详见证明过程.
[解析]
证明:(1)∵fx)=xlnx+1)﹣sinx
f′(x)=1﹣﹣cosx
令φ(x)=1﹣﹣cosx
则φ′(x)=+sinx
x∈(0,π),∴φ′(x)=+sinx>0,
f′(x)在(0,π)上单调递增,
f′(0)=1﹣1﹣cos0=﹣1<0,f′(π)=1﹣﹣cosπ=2﹣>0,
故存在唯一x0∈(0,π),使得f′(x0)=0,
x∈(0,x0),f′(x)<0,x∈(x0,+∞),f′(x)>0,
fx)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,
fx)在区间(0,π)上存在唯一的极小值点.
(2)函数fx)的定义域是(﹣1,+∞),
f′(x)=1﹣﹣cosx
①当x∈(﹣1,0)时,∵≤0,cosx>0,
f′(x)=﹣cosx<0,
fx)在(﹣1,0)上单调递减,
f(0)=0,∴fx)≥0,故此时fx)的零点为x=0;
②当x∈(0,π)时,f(π)=π﹣ln(π+1)>π﹣lne2=π﹣2>0,
f)=ln+1)﹣﹣sinln+1)﹣
ln2﹣ln
<0,
由(1)知,函数fx)在区间(,π)上有唯一零点;
③当x∈(π,+∞)时,令gx)=xlnx+1),x∈(π,+∞),
g′(x)=1﹣>0,
gx)在(π,+∞)上单调递增,
gx)>g(π)=π﹣ln(π+1)>π﹣lne2=π﹣2>1,
又sinx≤1,故对任意x∈(π,+∞),都有fx)>0,
∴函数fx)在区间(π,+∞)上没有零点,
综上,函数fx)有且仅有2个零点.
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的极值,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
考点说明
灰色代表去掉的考点,绿色代表未变动的考点,红色代表新增的考点
169485. (2024•西工大附中•高二上期末) 已知函数fx)=lnx+x2axa∈R).
(1)设函数gx)=fx)﹣x2,若函数gx)在区间(1,2)上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)若函数fx)有两个极值点x1x2,且,求fx1)﹣fx2)的取值范围.
共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:2
167369. (2024•长安区•高二下一月) 已知函数x=5处取得极小值,且极小值为﹣33.
(1)求ab的值;
(2)求fx)在[﹣2,0]上的值域.
共享时间:2024-04-22 难度:1 相似度:2
169439. (2024•西安中学•高二下期末) 已知函数fx)=x2alnxa∈R).
(1)若a=2,求fx)的极值;
(2)若函数gx)=fx)+(1﹣2ax恰有两个零点,求a的取值范围.
共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2
261518. (2019•陕西省•新课标Ⅱ) 已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:
(1)f(x)存在唯一的极值点;
(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
共享时间:2019-06-21 难度:1 相似度:2
232335. (2023•铁一中学•高三上二月) 已知函数fx)=cosxax2,其中a∈R,x∈[﹣].
(Ⅰ)当a=﹣时,求函数fx)的值域;
(Ⅱ)若函数fx)在[﹣]上恰有两个极小值点x1x2,求a的取值范围;并判断是否存在实数a,使得fx2x1)=1+x2x12成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

共享时间:2023-12-17 难度:1 相似度:2
264473. (2017•陕西省•新课标Ⅱ) 已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2
共享时间:2017-06-20 难度:1 相似度:2
237615. (2020•西安中学•高二下期中) 已知函数fx)=x3+ax2+bxx=1处有极值﹣2.
(1)求常数ab
(2)求曲线yfx)与x轴所包围的面积.
共享时间:2020-05-11 难度:1 相似度:2
169740. (2023•师大附中•高二下期末) 已知函数fx)=x3+ax2+bx+c在点P(1,2)处的切线斜率为4,且在x=﹣1处取得极值.
(1)求函数fx)的解析式;
(2)若函数gx)=fx)+m﹣1有三个零点,求m的取值范围.
共享时间:2023-07-03 难度:1 相似度:2
271578. (2022•西安中学•高二上一月) 已知函数f(x)=x3+2ax2+a2x+m在x=1处取得极小值.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)有3个零点,求实数m的取值范围.
共享时间:2022-10-18 难度:1 相似度:2
167305. (2023•长安区一中•高三上四月) 已知函数a>0.
(1)讨论fx)极值点的个数;
(2)若fx)恰有三个零点t1t2t3t1t2t3)和两个极值点x1x2x1x2).
(ⅰ)证明:fx1)+fx2)=0;
(ⅱ)若mn,且mlnmnlnn,证明:
共享时间:2023-02-23 难度:1 相似度:2
271712. (2022•西工大附中•高三上二月) 已知函数fx)=x2+ax+lnxa∈R).
(1)当a=﹣3时,求fx)的极值;
(2)若x1x2x1x2)是函数fx)的两个极值点,求fx2)﹣fx1)的取值范围.
共享时间:2022-12-17 难度:1 相似度:2
231519. (2015•西安中学•一模) 设函数fx)=x3+ax2a2x+ma>0)
(1)若函数fx)在x∈[﹣1,1]内没有极值点,求实数a的取值范围;
(2)a=1时函数fx)有三个互不相同的零点,求实数m的取值范围;
(3)若对任意的a∈[3,6],不等式fx)≤1在x∈[﹣2,2]上恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2015-03-05 难度:2 相似度:1.5
231754. (2014•师大附中•八模) 已知函数fx)=exx2+ax∈R的图象在点x=0处的切线为ybx.(e≈2.71828).
(Ⅰ)求函数fx)的解析式;
(Ⅱ)gx)=x∈(0,+∞),讨论函数gx)的单调性与极值;
(Ⅲ)若k∈Z,且fx)+(3x2﹣5x﹣2k)≥0 对任意x∈R恒成立,求k的最大值.
共享时间:2014-06-13 难度:2 相似度:1.5
231868. (2025•曲江二中•高二下一月) 已知函数fx)=x3+ax2+bx+cx=﹣x=1时都取得极值.求:
(1)求ab的值;
(2)若对x∈[﹣1,2],有fx)<c2恒成立,求c的取值范围.
共享时间:2025-04-15 难度:2 相似度:1.5
231960. (2025•西安八十三中•高二下一月) 已知函数x=﹣3处取得极大值为9.
(1)求ab的值;
(2)求函数fx)在区间[﹣3,3]上的最大值.
共享时间:2025-04-16 难度:2 相似度:1.5

re@dyw.com

2021-04-20

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2020*西工大*期末
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