如图正方体的棱长为分别是棱上的中点点为平面内的动点则下列命题正确的有平面截该正方体所得的截面图形是五边形若点到直线与到直线的距离相等则点的轨迹是抛物线若与所成的角为则点的轨迹是双曲线以为球心为半径的球面与平面相交所得曲线的面积为

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166499. （2024•铁一中学•高二上二月）如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别是棱BC，DD₁上的中点，点P为平面ABCD内的动点，则下列命题正确的有（　　）

A.平面AEF截该正方体所得的截面图形是五边形

B.若点P到直线BB₁与到直线DC的距离相等，则点P的轨迹是抛物线

C.若D₁P与AB所成的角为

，则点P的轨迹是双曲线

D.以B为球心，

为半径的球面与平面AEF相交所得曲线的面积为

共享时间:2024-12-24 难度:3

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[考点]

棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论，轨迹方程，

[答案]

BCD

[解析]

解：对于A，取CC₁的中点M，连接BM，取CM的中点N，连接EN，FN，FM，
则AF∥BM∥EN，所以A，F，N，E四点共面，
即平面AEF截该正方体所得的截面图形是四边形AFNE，故A错误．

对于B，由BB₁⊥平面ABCD，知PB⊥BB₁，即PB是点P到BB₁的距离，
在平面ABCD中，点P到定点B的距离与到定直线DC的距离相等，
则点P的轨迹是以B为焦点，DC为准线的抛物线，故B正确；
对于C，因为D₁P与AB所成的角为

，则∠C₁D₁P＝

或

，
则点P在以D₁为顶点，D₁C₁或D₁C₁的反向延长线为轴、D₁P为母线的圆锥面上，
又P在平面ABCD内，所以点P的轨迹是平面ABCD截圆锥面所得的图形，
又平面ABCD与轴D₁C₁平行，所以点P的轨迹是双曲线，故C正确．
对于D，设点B到平面AEF的距离为d，
因为正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别是棱BC，DD₁上的中点，
所以