[考点]
二次函数的值域,解一元二次不等式,函数解析式的求解及常用方法,
[答案]
(1)f(x)=﹣(x﹣1)2+1;
(2)答案见解析.
[解析]
解:(1)由f(﹣1)=f(3),
得二次函数f(x)的图象为对称轴为x=1的抛物线,
又f(x)在R上的值域为(﹣∞,1],
∴二次函数的图象为开口向下的抛物线,且顶点纵坐标为1,
由此设f(x)=a(x﹣1)2+1,且a<0,
已知二次函数f(x)的图象过坐标原点,可得a(0﹣1)2+1=0,
解得a=﹣1,则f(x)=﹣(x﹣1)2+1=﹣x2+2x;
(2)又2a﹣ax>f(x),得2a﹣ax>﹣x2+2x,即(x﹣2)(x﹣a)>0,
当a>2时,解得x>a或x<2,
当a=2时,解得x≠2,
当a<2时,解得x<a或x>2.
∴当a>2时,不等式2a﹣ax>f(x)的解集为{x|x>a或x<2},
当a=2时,不等式2a﹣ax>f(x)的解集为{x|x≠2},
当a<2时,不等式2a﹣ax>f(x)的解集为{x|x>2或x<a}.
[点评]
本题考查了"二次函数的值域,解一元二次不等式,函数解析式的求解及常用方法,",属于"难典题",熟悉题型是解题的关键。