在平面直角坐标系中抛物线与轴交于两点与轴交于点求抛物线的解析式设抛物线的顶点为点在抛物线的对称轴上且求点的坐标点在直线上方的抛物线上是否存在点使的面积最大若存在请求出点坐标

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6494. （2017•西安市•模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在点Q使△BCQ的面积最大，若存在，请求出点Q坐标．

共享时间:2017-06-23 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与面积最值问题，二次函数综合应用，相似三角形的判定与性质，

[答案]

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[解析]

解：（1）∵抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴

解得：

∴抛物线的解析式为y＝﹣x²﹣4x﹣3；

（2）由y＝﹣x²﹣4x﹣3，
可得D（﹣2，1），C（0，﹣3），
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，CB＝3

，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

∴AF＝

AB＝1，
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝90°，
可得BE＝AE＝

，CE＝2

，
在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴

＝

，
∴

＝

，
解得PF＝2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）存在，
因为BC为定值，当点Q到直线BC的距离最远时，△BCQ的面积最大，
设直线BC的解析式y＝kx+b，
直线BC经过B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴

解得：k＝﹣1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式y＝﹣x﹣3，
设点Q（m，n），过点Q作QH⊥BC于H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为（m，﹣m﹣3），

∴QS＝n﹣（﹣m﹣3）＝n+m+3，
∵点Q（m，n）在抛物线y＝﹣x²﹣4x﹣3上，
∴n＝﹣m²﹣4m﹣3，
∴QS＝﹣m²﹣4m﹣3+m+3
＝﹣m²﹣3m＝﹣（m+

）²+

，
当m＝﹣

时，QS有最大值

，
∵BO＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∵QS∥y轴，
∴∠QSH＝45°，
∴△QHS是等腰直角三角形，
∴当斜边QS最大时QH最大，
∵当m＝﹣

时，QS最大，
∴此时n＝﹣m²﹣4m﹣3＝﹣

+6﹣3＝

，
∴Q（﹣

，

），
∴Q点的坐标为（﹣

，

）时，△BCQ的面积最大．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用相似三角形的判定与性二次函数与面积最值问题二次函数的性质求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

3119. （2018•滨河中学•真题）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+

x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣

x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:1.71

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1144. （2020•陕西省•副题）已知抛物线L：y=-x²+bx+c过点（-3，3）和（1，-5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA=1：4，求满足条件的点P的坐标．
$德优题库$

共享时间:2020-07-31 难度:4 相似度:1.6

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.47

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23922. （2022•高新一中•二模）问题提出
（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB=2，则△ABC的面积为．
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD=1，求图中阴影部分的面积．
问题解决
（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB=∠BDC=60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．
$德优题库$

共享时间:2022-03-14 难度:5 相似度:1.24

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.2

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181159. （2023•爱知中学•） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L₁：y=ax²-2x+c经过点A（-1，0）和点C（0，-3），将抛物线L₁沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L₂．
（1）求抛物线L₁与L₂的表达式；
（2）若点P在抛物线L₂上，且在x轴下方，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，若△AOC与△POD相似，请求出点P的坐标．

共享时间:2022-12-01 难度:5 相似度:1.2

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190437. （2025•铁一中学•九上期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长．

共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.2

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190371. （2025•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:1.2

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190107. （2025•未央区•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=3，AD=2，AC=8，求AE的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.2

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189831. （2025•高新一中•九上期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x²-4x+13
（2）y=x（6-x）

共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.2

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189765. （2025•长安区•九上期末）如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若△FCG是以GF，GC为腰的等腰三角形时，求出m的值．

共享时间:2025-02-02 难度:5 相似度:1.2

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189760. （2025•长安区•九上期末）如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．求证：

．

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189714. （2025•师大附中•九上期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA=12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，与OA交于点H，点P是抛物线的顶点，且PH=9米．如图2，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），且∠OBA=90°．在PH上有个照明灯E，经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD=6），求横梁CD的长．
$德优题库$

共享时间:2025-02-15 难度:5 相似度:1.2

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181185. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点（2，-2）和（-6，10），且与x轴相交于A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点M、N是平面上的两个点，且M点在x轴的上方，若以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请求出点M的坐标．

共享时间:2023-01-10 难度:5 相似度:1.2

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175955. （2024•交大附中•九上二月）如图，已知抛物线：y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，8），对称轴是直线

，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．

共享时间:2024-12-24 难度:5 相似度:1.2

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gxyz515

2017-06-23

初中数学 | | 解答题

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2017年陕西省西安市高新一中中考数学五模试卷

更新:2017-06-23 06:26浏览量:549

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