如图在中以为直径的交于点过点作的切线交于点的反向延长线交于点求证若的半径为求的长度

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26024. （2024•滨河中学•五模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
$德优题库$

共享时间:2024-04-05 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，

[校正]

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x.
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10-x,OH=DE=8-（10-x）=x-2． $菁优网$
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH²+OH²=OA²，即x²+（x-2）²=10²，
解得x₁=8，x₂=-6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=

AF，
∴AF=2AH=2×8=16．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质,勾股定理,矩形的判定与性质"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

275086. （2024•滨河中学•五模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．

共享时间:2024-05-14 难度:3 相似度:2

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23009. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC的底边BC=2

cm，D是腰AB上一点，且CD=4cm，BD=2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:1.34

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274160. （2024•铁一中学•二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

	甲	乙
进价（元/件）	15	35
售价（元/件）	20	45

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最大的购货方案．

共享时间:2024-03-26 难度:1 相似度:1.33

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198773. （2022•铁一中学•九上期中） $德优题库$ 尺规作图：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图的方法做一条经过点C的直线，将Rt△ABC分成两个等腰三角形．

共享时间:2022-11-18 难度:1 相似度:1.33

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277821. （2025•高新一中•八模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠A=25°，请用尺规作图法，在AC的左侧找一点D，使得∠DAB=50°，且△DAB是等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2025-06-14 难度:1 相似度:1.33

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285464. （2025•交大附中•九上期中）如图，在△ABC中，∠A＝25°，在AC的左侧找一点D，使得∠DAB＝50°（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2025-11-19 难度:1 相似度:1.33

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197518. （2024•曲江一中•八上期中） $德优题库$ 如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是y轴上的动点，则△APC周长的最小值= ．

共享时间:2024-11-20 难度:1 相似度:1.33

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244273. （2023•长安区•七下期末）作图题（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上），画出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'；
$德优题库$
（2）如图，在△DEF中，DE=DF，用尺规作出△DEF的对称轴l.
$德优题库$

共享时间:2023-07-13 难度:1 相似度:1.33

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277709. （2025•曲江一中•八模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，请利用无刻度直尺和圆规过点P作直线l分别交AB，AC于E，F两点，且使得AE=AF．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2025-06-10 难度:1 相似度:1.33

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．