如图点在的平分线上点分别在边上且连接求线段的最小值如图是一个圆弧型拱桥的截面示意图点是拱桥的中点桥下水面的宽度点到水面的距离点均在上且在点处各装有一个照明灯图中和分别是这两个灯的光照范围两灯可以分别绕点左右转动且光束始终照在水面上即可分别绕点按

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25711. （2023•陕西省•副题）（1）如图①，∠AOB=120°，点P在∠AOB的平分线上，OP=4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF=60°，连接EF．求线段EF的最小值； $德优题库$
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥

的中点，桥下水面的宽度AB=24m,点P到水面AB的距离PH=8m.点P₁，P₂均在

上，

，且P₁P₂=10m,在点P₁，P₂处各装有一个照明灯，图中△P₁CD和△P₂EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P₁，P₂左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP₁D，∠EP₂F可分别绕点P₁，P₂按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP₁D=∠EP₂F=90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）

共享时间:2023-07-21 难度:5

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[考点]

等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，勾股定理，垂径定理，圆的综合题，

[答案]

（1）线段EF的最小值是2

；
（2）这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或

m．

[解析]

解：（1）过P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，如图：
$菁优网$
∵∠AOB=120°，∠EPF=60°，
∴∠OEP+∠OFP=180°，
∵∠OEP+∠PED=180°，
∴∠OFP=∠PED，即∠PFC=∠PED，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，
∴PC=PD，
∵∠PCF=∠PDE=90°，
∴△PCF≌△PDE（AAS），
∴CF=DE，
∴OE+OF=（OD-DE）+（OC+CF）=OD+OC，
∵∠POD=∠POC=60°，
∴∠OPD=∠OPC=30°，
∴OD=OC=

OP=2，
∴OE+OF=4，
设OF=x,则OE=4-x,
过F作FG⊥AO于G，如图：
$菁优网$
∵∠OFG=∠AOB-∠G=120°-90°=30°，
∴OG=

x,GF=

x,
∴EG=OE+OG=4-

x,
∴EF=

，
∴当x=2时，EF取最小值

，
∴线段EF的最小值是2

；
（2）当整个水面AB都被灯光照到时，
①C与A重合，F与B重合，设PH交P₁P₂于K，圆心为O，连接HO，AO，P₁O，过P1作P₁T⊥AB于T，如图：
$菁优网$
∵点P是拱桥

的中点，PH⊥AB，
∴O，P，H共线，AH=BH=

AB=12m,
设⊙O半径为r m,则OH=OP-PH=（r-8）m,
在Rt△AHO中，AH²+OH²=OA²，
∴12²+（r-8）²=r²，
解得r=13，
∴OP₁=13m,
∵

，且P₁P₂=10m,
∴P₁K=P₂K=5m,
∴OK=

=12（m），
∴PK=OP-OK=13-12=1（m），
∴KH=PH-PK=8-1=7（m），
∴P₁T=KH=7m,
∵AT=AH-TH=12-5=7（m），
∴AT=P₁T，
∴∠P₁AT=45°，
∵∠CP₁D=90°，即∠AP₁D=90°，
∴△AP₁D是等腰直角三角形，
∴AD=2AT=14（m），即CD=14m,
∴DB=AB-AD=24-14=10（m），
同理可得BE=14m,即FE=14m,
∴DE=EF-DB=14-10=4（m），
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m；
②当E与A重合，D与B重合时，如图：
$菁优网$
∵AT=P₁T=7m=P₂M，P₁P₂=10m,
∴AM=AT+TF=17m,
∴AP₂=

（m），
∵cos∠P₂AM=

，
∴

，
∴AF=

，
同理BC=

，
∴CF=AF+BC-AB=

-24=

（m）；
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为

m；
综上所述，这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或

[点评]

本题考查了"等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形全等的判定,勾股定理,垂径定理,圆的综合题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21105. （2021•交大附中•九模）如图，已知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．求证：OE=OF．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.33

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24662. （2018•师大附中•八上期末）已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．
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共享时间:2019-03-02 难度:4 相似度:1.25

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.17

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.17

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.17

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25804. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
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共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.17

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
$德优题库$

共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.17

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.17

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
$德优题库$

共享时间:2022-05-18 难度:3 相似度:1.17

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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共享时间:2022-05-25 难度:3 相似度:1.17

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.17

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
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共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.17

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27756. （2023•航天中学•九上二月）【直接运用】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是；【构造运用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D′处，连接BD′，点M为BD′中点，求MN的最小值；
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