如图点在的平分线上点分别在边上且连接求线段的最小值如图是一个圆弧型拱桥的截面示意图点是拱桥的中点桥下水面的宽度点到水面的距离点均在上且在点处各装有一个照明灯图中和分别是这两个灯的光照范围两灯可以分别绕点左右转动且光束始终照在水面上即可分别绕点按

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25711. （2023•陕西省•副题）（1）如图①，∠AOB=120°，点P在∠AOB的平分线上，OP=4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF=60°，连接EF．求线段EF的最小值； $德优题库$
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥

的中点，桥下水面的宽度AB=24m,点P到水面AB的距离PH=8m.点P₁，P₂均在

上，

，且P₁P₂=10m,在点P₁，P₂处各装有一个照明灯，图中△P₁CD和△P₂EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P₁，P₂左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP₁D，∠EP₂F可分别绕点P₁，P₂按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP₁D=∠EP₂F=90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）

共享时间:2023-07-21 难度:5

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[考点]

等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，勾股定理，垂径定理，圆的综合题，

[答案]

（1）线段EF的最小值是2；
（2）这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或m．

[解析]

解：（1）过P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，如图：
$菁优网$
∵∠AOB=120°，∠EPF=60°，
∴∠OEP+∠OFP=180°，
∵∠OEP+∠PED=180°，
∴∠OFP=∠PED，即∠PFC=∠PED，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，
∴PC=PD，
∵∠PCF=∠PDE=90°，
∴△PCF≌△PDE（AAS），
∴CF=DE，
∴OE+OF=（OD-DE）+（OC+CF）=OD+OC，
∵∠POD=∠POC=60°，
∴∠OPD=∠OPC=30°，
∴OD=OC=

OP=2，
∴OE+OF=4，
设OF=x,则OE=4-x,
过F作FG⊥AO于G，如图：
$菁优网$
∵∠OFG=∠AOB-∠G=120°-90°=30°，
∴OG=

x,GF=

x,
∴EG=OE+OG=4-

x,
∴EF=

，
∴当x=2时，EF取最小值

，
∴线段EF的最小值是2

；
（2）当整个水面AB都被灯光照到时，
①C与A重合，F与B重合，设PH交P₁P₂于K，圆心为O，连接HO，AO，P₁O，过P1作P₁T⊥AB于T，如图：
$菁优网$
∵点P是拱桥

的中点，PH⊥AB，
∴O，P，H共线，AH=BH=

AB=12m,
设⊙O半径为r m,则OH=OP-PH=（r-8）m,
在Rt△AHO中，AH²+OH²=OA²，
∴12²+（r-8）²=r²，
解得r=13，
∴OP₁=13m,
∵

，且P₁P₂=10m,
∴P₁K=P₂K=5m,
∴OK=

=12（m），
∴PK=OP-OK=13-12=1（m），
∴KH=PH-PK=8-1=7（m），
∴P₁T=KH=7m,
∵AT=AH-TH=12-5=7（m），
∴AT=P₁T，
∴∠P₁AT=45°，
∵∠CP₁D=90°，即∠AP₁D=90°，
∴△AP₁D是等腰直角三角形，
∴AD=2AT=14（m），即CD=14m,
∴DB=AB-AD=24-14=10（m），
同理可得BE=14m,即FE=14m,
∴DE=EF-DB=14-10=4（m），
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m；
②当E与A重合，D与B重合时，如图：
$菁优网$
∵AT=P₁T=7m=P₂M，P₁P₂=10m,
∴AM=AT+TF=17m,
∴AP₂=

（m），
∵cos∠P₂AM=

，
∴

，
∴AF=

，
同理BC=

，
∴CF=AF+BC-AB=

-24=

（m）；
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为

m；
综上所述，这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或

[点评]

本题考查了"等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形全等的判定,勾股定理,垂径定理,圆的综合题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.17

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.17

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.17

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.17

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1001. （2018•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、

是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，

所对的圆心角为60°，新区管委会想在

路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在

、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

共享时间:2018-07-02 难度:5 相似度:1.1

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510. （2018•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝4，∠A＝135°，点B关于AC所在直线的对称点为B′，则BB′的长度为　　．
问题探究
（2）如图②，半圆O的直径AB＝10，C是

的中点，点D在

上，且

＝2

，P是AB上的动点，试求PC+PD的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形花坛AOB的半径为20m，∠AOB＝45°．根据工程需要．现想在

上选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE+EF+FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰三角形．试求PE+EF+FP的值最小时的等腰△PEF的面积．（安装损耗忽略不计）

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:1

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:0.83

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.83

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.73

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4762. （2017•高新一中•真题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.73

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4683. （2018•交大附中•模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE．求证：DE＝AC．

共享时间:2018-06-25 难度:3 相似度:0.67

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1089. （2020•陕西省•真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．