如图点在的平分线上点分别在边上且连接求线段的最小值如图是一个圆弧型拱桥的截面示意图点是拱桥的中点桥下水面的宽度点到水面的距离点均在上且在点处各装有一个照明灯图中和分别是这两个灯的光照范围两灯可以分别绕点左右转动且光束始终照在水面上即可分别绕点按

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25711. （2023•陕西省•副题）（1）如图①，∠AOB=120°，点P在∠AOB的平分线上，OP=4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF=60°，连接EF．求线段EF的最小值； $德优题库$
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥

的中点，桥下水面的宽度AB=24m,点P到水面AB的距离PH=8m.点P₁，P₂均在

上，

，且P₁P₂=10m,在点P₁，P₂处各装有一个照明灯，图中△P₁CD和△P₂EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P₁，P₂左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP₁D，∠EP₂F可分别绕点P₁，P₂按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP₁D=∠EP₂F=90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）

共享时间:2023-07-21 难度:5

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[考点]

等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定，勾股定理，垂径定理，圆的综合题，

[答案]

（1）线段EF的最小值是2；
（2）这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或m．

[解析]

解：（1）过P作PC⊥OB于C，作PD⊥OA于D，如图：
$菁优网$
∵∠AOB=120°，∠EPF=60°，
∴∠OEP+∠OFP=180°，
∵∠OEP+∠PED=180°，
∴∠OFP=∠PED，即∠PFC=∠PED，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OB，PD⊥OA，
∴PC=PD，
∵∠PCF=∠PDE=90°，
∴△PCF≌△PDE（AAS），
∴CF=DE，
∴OE+OF=（OD-DE）+（OC+CF）=OD+OC，
∵∠POD=∠POC=60°，
∴∠OPD=∠OPC=30°，
∴OD=OC=

OP=2，
∴OE+OF=4，
设OF=x,则OE=4-x,
过F作FG⊥AO于G，如图：
$菁优网$
∵∠OFG=∠AOB-∠G=120°-90°=30°，
∴OG=

x,GF=

x,
∴EG=OE+OG=4-

x,
∴EF=

，
∴当x=2时，EF取最小值

，
∴线段EF的最小值是2

；
（2）当整个水面AB都被灯光照到时，
①C与A重合，F与B重合，设PH交P₁P₂于K，圆心为O，连接HO，AO，P₁O，过P1作P₁T⊥AB于T，如图：
$菁优网$
∵点P是拱桥

的中点，PH⊥AB，
∴O，P，H共线，AH=BH=

AB=12m,
设⊙O半径为r m,则OH=OP-PH=（r-8）m,
在Rt△AHO中，AH²+OH²=OA²，
∴12²+（r-8）²=r²，
解得r=13，
∴OP₁=13m,
∵

，且P₁P₂=10m,
∴P₁K=P₂K=5m,
∴OK=

=12（m），
∴PK=OP-OK=13-12=1（m），
∴KH=PH-PK=8-1=7（m），
∴P₁T=KH=7m,
∵AT=AH-TH=12-5=7（m），
∴AT=P₁T，
∴∠P₁AT=45°，
∵∠CP₁D=90°，即∠AP₁D=90°，
∴△AP₁D是等腰直角三角形，
∴AD=2AT=14（m），即CD=14m,
∴DB=AB-AD=24-14=10（m），
同理可得BE=14m,即FE=14m,
∴DE=EF-DB=14-10=4（m），
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m；
②当E与A重合，D与B重合时，如图：
$菁优网$
∵AT=P₁T=7m=P₂M，P₁P₂=10m,
∴AM=AT+TF=17m,
∴AP₂=

（m），
∵cos∠P₂AM=

，
∴

，
∴AF=

，
同理BC=

，
∴CF=AF+BC-AB=

-24=

（m）；
∴这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为

m；
综上所述，这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或

[点评]

本题考查了"等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形全等的判定,勾股定理,垂径定理,圆的综合题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。

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共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.33

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191916. （2023•西安市航天城第二中学•九上二月） $德优题库$ 如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直于点E，AB被分成4cm和10cm两段．
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（2）若⊙O半径为8cm,求CD的长是多少？

共享时间:2023-12-27 难度:2 相似度:1.33

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（1）求证：EF=EC；
（2）若点D是OA的中点，AB=4，求BF的长．

共享时间:2025-03-17 难度:2 相似度:1.33

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174202. （2024•铁一中学•八上一月）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AD为∠BAC的平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则AE＝　．

共享时间:2024-10-17 难度:2 相似度:1.33

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（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路AB车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过68米，已知摄像头能监控的最大范围为周围的50米（包含50米），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．

共享时间:2024-07-12 难度:2 相似度:1.33

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196258. （2024•高新一中•七下期末） $德优题库$ 如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB=BC=AD=50m,CD²=7500m²，且∠ABC=90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路AB车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过68米，已知摄像头能监控的最大范围为周围的50米（包含50米），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1.33

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24662. （2018•师大附中•八上期末）已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．
（1）如图1，若∠BAC＝60°．
①直接写出∠B和∠ACB的度数；
②若AB＝2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．