已知中是的平分线且过点作的垂线交的延长线于点如图若直接写出和的度数若求和的长如图用等式表示线段与之间的数量关系并证明

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24662. （2018•师大附中•八上期末）已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且AD＝AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．
（1）如图1，若∠BAC＝60°．
①直接写出∠B和∠ACB的度数；
②若AB＝2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．

共享时间:2019-03-02 难度:4

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[考点]

中位线定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）①∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝

\frac{180°-30°}{2}

=75° ，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
②如图1，过D作DE⊥AC交AC于点E，

在Rt△ADE中，∵∠DAC＝30°，AB＝AD＝2，
∴DE＝1，AE＝

\sqrt{3}

，
在Rt△CDE中，∵∠ACD＝45°，DE＝1，
∴EC＝1，
∴AC＝

\sqrt{3}

+1，
在Rt△ACH中，∵∠DAC＝30°，
∴CH＝

\frac{1}{2}

AC＝

\frac{\sqrt{3} +1}{2}

，
∴AH＝

\sqrt{{AC}^{2} - {CH}^{2}}

＝

；

（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH＝AB+AC．
证明：如图2，延长AB和CH交于点F，取BF的中点G，连接GH．

易证△ACH≌△AFH，
∴AC＝AF，HC＝HF，
∴GH∥BC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴AG＝AH，
∴AB+AC＝AB+AF＝2AB+BF＝2（AB+BG）＝2AG＝2AH．

[点评]

本题考查了"中位线定理,等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理",属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

174202. （2024•铁一中学•八上一月）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AD为∠BAC的平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，则AE＝　．

共享时间:2024-10-17 难度:2 相似度:1.5

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21105. （2021•交大附中•九模）如图，已知∠A=∠D=90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．求证：OE=OF．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.5

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196258. （2024•高新一中•七下期末） $德优题库$ 如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB=BC=AD=50m,CD²=7500m²，且∠ABC=90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路AB车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过68米，已知摄像头能监控的最大范围为周围的50米（包含50米），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1.5

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196331. （2024•高新一中•七下期末） $德优题库$ 如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB=BC=AD=50m,CD²=7500m²，且∠ABC=90°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路AB车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过68米，已知摄像头能监控的最大范围为周围的50米（包含50米），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．

共享时间:2024-07-12 难度:2 相似度:1.5

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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
$德优题库$

共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.25

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190391. （2025•西工大附中•八上期末） $德优题库$ 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与AN相交于点P．求证：PM=PN．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.25

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190318. （2025•高陵区•八上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，BC=5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD=BD=3，求AB，AC的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.25

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25711. （2023•陕西省•副题）（1）如图①，∠AOB=120°，点P在∠AOB的平分线上，OP=4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF=60°，连接EF．求线段EF的最小值； $德优题库$
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥

的中点，桥下水面的宽度AB=24m,点P到水面AB的距离PH=8m.点P₁，P₂均在

上，

，且P₁P₂=10m,在点P₁，P₂处各装有一个照明灯，图中△P₁CD和△P₂EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P₁，P₂左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP₁D，∠EP₂F可分别绕点P₁，P₂按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP₁D=∠EP₂F=90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）

共享时间:2023-07-21 难度:5 相似度:1.25

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190188. （2025•蓝田县•八上期末） $德优题库$ 如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB=1.3m,点B到地面CD的距离BC=DE=2m,点B到AD的距离BE=1.2m,BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求点A到地面CD的距离AD的长为多少米？

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.25

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190038. （2025•爱知中学•八上期末） $德优题库$ 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，点E、F在BC上，AE、DF交于点O，已知AC=DB，AE=DF．求证：CF=BE．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.25

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25804. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
$德优题库$

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.25

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179061. （2025•师大附中•七下期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个图形：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行了如下探究：
如图，△AOB与△COD的顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，连接AD、BC，将△COD绕点O旋转．
（1）活动探究一：如图1，将△COD绕点O旋转的过程中，探究BC和AD的数量关系为．
（2）活动探究二：如图2，将△COD绕点O转动至如图所示位置时，连接AC、BD，探究△AOC与△BOD面积的数量关系，并说明理由．
（3）活动探究三：如图3，在（2）的条件下，当∠CAO=90°时，延长AO交BD于点E，若AE=10，△AOD的面积为32，求AC的长度．
$德优题库$