已知点在边上点是边上一动点将线段绕点逆时针旋转得到线段连接如图当时试判断与的位置关系如图当时时求线段的长度如图当时将线段绕点顺时针旋转得到线段作于点当点在射线上运动时用等式表示线段与之间的数量关系并证明

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25157. （2022•高新一中•八下期中）已知，∠MON=90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．
（1）如图1，当∠OAP=45°时，试判断OB与AP的位置关系：；
（2）如图2，当∠OAP=60°时，OA=2时，求线段OB的长度；
（3）如图3，当∠OAP=α时，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
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共享时间:2022-05-12 难度:4

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[考点]

等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，几何变换综合题，

[答案]

（1）垂直；
（2）2

[解析]

解：（1）∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，
∴AB=AP，且∠PAB=60°．
∴△ABP是等边三角形，
∴BA=BP，
∵∠MON=90°，∠OAP=45°，
∴∠OPA=90°-∠OAP=45°，
∴∠OAP=∠OPA，∴OA=OP，
∴OB是AP的垂直平分线，
故答案为：垂直；
（2）由（1）知，△ABP是等边三角形，
∴AP=BP，∠APB=60°，
∵∠OAP=60°，∠MON=90°，
∴∠APO=30°，
∴∠BPO=∠BPA+∠APO=90°，
∴∠BPH=90°，
∴AP=BP=2OA=2×2=4，
在Rt△AOP中，OP²=AP²-OA²=4²-2²=12，
在Rt△BOP中，OB²=OP²+BP²=12+4²=28，
∴OB=2

；
（3）结论：OA=2CH．
理由：如图3中，
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由（1）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA=BP，∠ABP=∠BPA=60°．
∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，
∴OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BO=BC，∠OBC=60°，
∴∠ABO=60°-∠OBP=∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO=PC，∠BPC=∠BAO，
∵∠OAP=α，
∴∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°+α，
∴∠BPC=60°+α，
∵∠BPN=180°-∠APO-∠BPA=120°-（90°-α）=30°+α，
∴∠HPC=∠BPC-∠BPN=30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO=90°，
∴在Rt△CHP中，PC=2CH，
∴OA=2CH．

[点评]

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.25

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.25

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.25

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.25

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.25

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20179. （2021•西工大附中•五模）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

共享时间:2021-06-03 难度:3 相似度:1.25

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20154. （2021•西工大附中•四模）如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE．

共享时间:2021-05-31 难度:3 相似度:0.75

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4508. （2018•师大附中•模拟）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．
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共享时间:2018-06-04 难度:2 相似度:0.75

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19847. （2021•陕西省•真题）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．

共享时间:2021-06-25 难度:3 相似度:0.75

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19248. （2016•西工大附中•模拟）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：BE＝CE．

共享时间:2016-06-06 难度:3 相似度:0.75

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19063. （2016•交大附中•模拟）小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．
探索理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；

尝试体验：
（2）如图2，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
（3）如图3，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．