已知点在边上点是边上一动点将线段绕点逆时针旋转得到线段连接如图当时试判断与的位置关系如图当时时求线段的长度如图当时将线段绕点顺时针旋转得到线段作于点当点在射线上运动时用等式表示线段与之间的数量关系并证明

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25157. （2022•高新一中•八下期中）已知，∠MON=90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．
（1）如图1，当∠OAP=45°时，试判断OB与AP的位置关系：；
（2）如图2，当∠OAP=60°时，OA=2时，求线段OB的长度；
（3）如图3，当∠OAP=α时，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．
$德优题库$

共享时间:2022-05-12 难度:4

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[考点]

等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，几何变换综合题，

[答案]

（1）垂直；
（2）2

[解析]

解：（1）∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，
∴AB=AP，且∠PAB=60°．
∴△ABP是等边三角形，
∴BA=BP，
∵∠MON=90°，∠OAP=45°，
∴∠OPA=90°-∠OAP=45°，
∴∠OAP=∠OPA，∴OA=OP，
∴OB是AP的垂直平分线，
故答案为：垂直；
（2）由（1）知，△ABP是等边三角形，
∴AP=BP，∠APB=60°，
∵∠OAP=60°，∠MON=90°，
∴∠APO=30°，
∴∠BPO=∠BPA+∠APO=90°，
∴∠BPH=90°，
∴AP=BP=2OA=2×2=4，
在Rt△AOP中，OP²=AP²-OA²=4²-2²=12，
在Rt△BOP中，OB²=OP²+BP²=12+4²=28，
∴OB=2

；
（3）结论：OA=2CH．
理由：如图3中，
$菁优网$
由（1）可知，△ABP是等边三角形，
∴BA=BP，∠ABP=∠BPA=60°．
∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，
∴OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BO=BC，∠OBC=60°，
∴∠ABO=60°-∠OBP=∠PBC，
∴△ABO≌△PBC（SAS），
∴AO=PC，∠BPC=∠BAO，
∵∠OAP=α，
∴∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°+α，
∴∠BPC=60°+α，
∵∠BPN=180°-∠APO-∠BPA=120°-（90°-α）=30°+α，
∴∠HPC=∠BPC-∠BPN=30°，
∵CH⊥ON，
∴∠CHO=90°，
∴在Rt△CHP中，PC=2CH，
∴OA=2CH．

[点评]

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

180147. （2024•长安区•八下二月） $德优题库$ 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AC=12cm,求CM的长．

共享时间:2024-06-21 难度:3 相似度:1.75

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212568. （2024•曲江一中•八模） $德优题库$ 如图，AC=AE，BC=DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED=180°．求证：AB=AD．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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196705. （2024•西工大附中•八上期末）（1）如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠B=∠C=15°，则AB边上的高为；
（2）四边形ABCD为正方形，边长AB=6，M是边AB上一动点（不与点A，B重合）．线段DC关于DM对称的线段为DN，连接AN．
①如图2，若△ADN为等边三角形，求AM的长；
②如图3，延长NA，交射线DM于点G．△DNG能否为等腰三角形？若能，求出此时AM的长，若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:1.25

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179131. （2025•师大附中•八下期中）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，AC和DB相交于点O．
求证：OB＝OC．

共享时间:2025-05-21 难度:1 相似度:1.25

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179133. （2025•师大附中•八下期中） △ABC是等边三角形，点D为线段BC上任意一点，连接AD，E为直线AB上一点．

（1）如图1，当点D为BC中点时，点E在AB边上，连接DE．若AE＝2，BE＝6，则DE的长为　2

　；
（2）如图2，若点E为AB延长线上一点，且BE＝CD，点F为CB延长线上一点，且∠FAD＝60°．猜想线段AF，EF，AD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段AD上一点，连接ME，将线段ME绕点E顺时针旋转60°得到线段EN，连接MN，BN，DN．请直接写出BN+DN的最小值．

共享时间:2025-05-21 难度:1 相似度:1.25

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179453. （2024•高新一中•九上期中）在一次海上救援中，专业救助船B接收到基地C的指示，在专业救助船B的正南方向上有一艘遇险渔船A需要救援，现在已知专业救助船B在基地C的北偏西48.3°的方向上，且相距20海里，遇险渔船A在基地C的南偏西30°的方向上，若专业救助船B以40海里/小时的速度前去救援，问能否在1小时内赶到救援位置？（结果保留整数，参考数据：sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，sin78.3°≈0.98，

≈1.73）

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:1.25

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179549. （2024•爱知中学•九上期中）如图，在△ABC和△ADE中，点C在AD上，AE∥BC，∠BAC＝∠E，AC＝AE，求证：BC＝DA．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:1.25

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196896. （2024•交大附中•七下期末） $德优题库$ 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC=DE，AC∥DE，∠A=∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF=14，EC=6，求BE的长．

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:1.25

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179809. （2025•交大附中•八下期中）【问题提出】
（1）如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D为BC上一点，将△ADC绕点A逆时针旋转90°，D的对应点为D'，则∠D′BC＝　 °．
【问题探究】
（2）如图②，△ABC为等边三角形，D，E为边BC上的点，已知CE＝BD＝2，∠DAE＝30°，求△ABC的边长．
【问题解决】
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地△ABC，用来种植花卉，如图③，其中∠ABC＝45°，D为AC边上一点，E为BC边上一点，BD，DE是规划过程中修建的两条小路，要求AD＝12

m，∠ADB＝45°，DE⊥AC，且DE＝9

m，现计划在四边形ABED区域内种植三色堇，在△DEC区域内种植石竹，经了解．种植三色堇的费用为30元/m²，种植石竹的费用为40元/m²，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计）

共享时间:2025-05-24 难度:1 相似度:1.25

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179826. （2025•西安八十三中•八下期中） $德优题库$ 如图，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，请用尺规在AC边上找一点P，使得PC+PB=AC．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.25

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179831. （2025•西安八十三中•八下期中） $德优题库$ 如图，线段AC、BD相交于点E，连接AB、CD，已知∠A=∠D=90°，AC=BD．求证：BE=CE．

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.25

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179954. （2024•陆港中学•八下期中）【问题发现】
（1）崔老师在铁一陆港中学八年级数学学科活动中引导学生研究了三角形的旋转变换，如图①，在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一动点，连接CD，CD绕点C逆时针旋转90°，得到CE，CE的最小值是　　；
刘老师让同学们研究了以下问题：
【问题探究】
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是边AB上的一动点，连接CD，CD绕点C逆时针旋转90°，得到CE，连接BE，求出△BDE的面积的最大值；
韩老师又让同学们研究了以下问题：
【问题解决】
（3）如图③，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，