问题提出如图已知线段连接则三角形面积最大为问题探究如图在四边形中若求四边形的面积问题解决在四边形中求四边形面积的最大值

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25106. （2022•铁一中学•八下期中）问题提出：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大为；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，若CD+BC=10，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=8，求四边形ABCD面积的最大值．
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共享时间:2022-05-18 难度:4

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[考点]

三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四边形综合题，

[答案]

（1）4；
（2）四边形ABCD的面积为25；
（3）四边形ABCD面积的最大值是32．

[解析]

解：（1）如图1，作BG⊥AC于点G， $菁优网$
∵S_△ABC=

AC•BG，AC=4，
∴S_△ABC=

×4BG=2BG，
∴当BG最大时，S_△ABC的值最大，
∵BG≤AB，AB=2，
∴BG≤2，
∴BG的最大值为2，
∴当BG=2时，S_△ABC最大=4，
∴三角形ABC面积最大为4，
故答案为：4. $菁优网$
（2）如图2，连接BD，
∵CD+BC=10，
∴（CD+BC）²=100，
∴CD²+BC²+2CD•BC=100，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，
∴CD²+BC²=AB²+AD²=BD²，
∴CD²+BC²=2AD²，
∴2AD²+2CD•BC=100，
∴

AD²+

CD•BC=25，
∵S_△ABD=

AD²，S_△CBD=

CD•BC，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=

AD²+

CD•BC=25，
∴四边形ABCD的面积为25．
（3）如图3，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∵∠BAD+∠BCD=180°， $菁优网$
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
∵∠AEB=∠F=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，CE=CF，S_△ABE=S_△ADF，
∵∠AEC=∠F=90°，AC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴S_△ACE=S_△ACF，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABE+S_{四边形AECD}=S_△ADF+S_{四边形AECD}=S_△ACE+S_△ACF=2S_△ACE，
设AE=m,CE=n,则S_{四边形ABCD}=2S_△ACE=2×

AE•CE=mn,
∵AE²+CE²=AC²，AC=8，
∴m²+n²=64，
由（m-n）²≥0得mn≤

（m²+n²），
∴mn≤32，
∴S_{四边形ABCD}≤32，
∴S_{四边形ABCD最大}=32，
∴四边形ABCD面积的最大值是32．

[点评]

此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，运用转化思想正确地表示四边形的面积是解题的关键．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

24844. （2022•爱知中学•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
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共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:1.75

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23062. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5

．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
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共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:1.5

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196458. （2024•爱知中学•七下期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．
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（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=5，AC=8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP：CP的值．

共享时间:2024-07-21 难度:2 相似度:1.5

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.5

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185129. （2025•铁一中学•八下期中）（1）阅读材料：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，△ACE是等边三角形，M为△ABC内任意一点，连接CM，将CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接EN、AM、BM．
①△CMN的形状是；
②AM+BM+CM是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地ABCD建设口袋公园，四个顶点A、B、C、D为公园入口，公园内有两个凉亭E、F，为方便市民散步，需修建健身步道连接AE、BE、EF、DF、CF．为节约建设成本，应将E、F修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？
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共享时间:2025-05-10 难度:1 相似度:1.25

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185104. （2025•铁一中学•七下期中） $德优题库$ 已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若AD=4，CE=2，求△ABC的面积．

共享时间:2025-05-15 难度:1 相似度:1.25

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185031. （2024•雁塔二中•八下一月） $德优题库$ 如图，△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A₁B₁C₁．
（2）将△A₁B₁C₁向右平移5个单位，作出平移后的△A₂B₂C₂．
（3）求△A₂B₂C₂的面积．

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.25

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181568. （2024•曲江一中•八下二月）【问题提出】
（1）如图1，点D是△ABC边BC的中点，则S_△ABD S_△BCD（填“＞、＜、=”，下同）．
如图2，直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则S_△ABC= S_△ABF；
【问题探究】
（2）如图3，点D是△ABC边AC上一定点，使用三角板在BC上作出点E，使得线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，四边形ABCD是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量AB=6米，AD=30米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．
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共享时间:2024-06-21 难度:1 相似度:1.25

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181543. （2023•曲江一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请在△ABC内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为∠C，其余顶点落在△ABC的边上；
问题探究
（2）如图，△ABC为一块锐角三角形木板，其中BC＝10，S_△ABC＝25．
如图2，若要在△ABC中做出一个正方形，使正方形边落在BC上，另外两个顶点分别落在AB，AC上，则该正方形的面积为　　．
如图3，若要在△ABC中做出一个平行四边形，使平行四边形一边EF落在BC上，另两顶点落在AB，AC上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
问题解决
（3）如图4有一四边形ABCD，AC与BD交于O，AC＝10，BD＝20，∠AOB＝60°，现要在ABCD中截出平行四边形EFGH，使得平行四边形一边EF与BD平行，四个顶点E，F，G，H落在ABCD的四边上，当S_▱EFGH＝

S_{四边形ABCD}时EF＝　　．

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25

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181537. （2023•曲江一中•九上一月） $德优题库$ 如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF=BC，DE∥BC，∠DFE=∠B．求证：DE=AC．

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25

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181536. （2023•曲江一中•九上一月） $德优题库$ 如图，在Rt△AOB中，∠B=90°，点P是边OA上一点，请用尺规作图法在边OB上求作一点Q，使得OP²=OQ²+PQ²．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25

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181494. （2024•铁一中学•八下一月）综合与实践
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°，连接AC．若点E、F分别在边BC，CD上，且BE=CF．
①求证：△AEF是等边三角形；
②若AC=6，求四边形AECF的面积；
（2）某小区有一块四边形空地，如图②，经测量：AB=AD=8m,AC=10m,∠BCD=120°，∠BAD=60°，物业决定在此规划花园，以△ABD和△BCD为大致轮廓种植月季和薰衣草，如图③，为了观赏方便，物业决定过点E规划三条路线，分别为EC、EF、EG（宽度忽略不计），其中CE⊥BD，EF⊥AB，EG⊥AD，求三条路线的距离之和．
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共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:1.25

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181466. （2024•铁一中学•七下二月） $德优题库$ 如图，已知∠C=∠E，AC=AE，∠CAD=∠EAB．求证：∠ABD=∠ADB．

共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:1.25

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181469. （2024•铁一中学•七下二月）【初步探究】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．
①由题中条件判断BD与CE的数量关系：BD CE；
②BD与EC是否存在特殊的位置关系？请你证明．
【灵活运用】
（2）将△ADE绕点A旋转至如图2所示位置，连接BD、CE．在（1）中的结论下，若AB=3，AE=5，四边形BCDE的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:1.25

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185174. （2025•高新三中•七下期中） $德优题库$ 如图，点F，C在BE上，BF=EC，AB=DE，DF=AC．求证：∠B=∠E．

共享时间:2025-05-11 难度:1 相似度:1.25

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2022-05-18

初中数学 | 八年级下 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市碑林区铁一中学八下期中数学试卷

更新:2022-05-18 05:54浏览量:707

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