问题提出如图已知线段连接则三角形面积最大为问题探究如图在四边形中若求四边形的面积问题解决在四边形中求四边形面积的最大值

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25106. （2022•铁一中学•八下期中）问题提出：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大为；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，若CD+BC=10，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=8，求四边形ABCD面积的最大值．
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共享时间:2022-05-18 难度:4

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[考点]

三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四边形综合题，

[答案]

（1）4；
（2）四边形ABCD的面积为25；
（3）四边形ABCD面积的最大值是32．

[解析]

解：（1）如图1，作BG⊥AC于点G， $菁优网$
∵S_△ABC=

AC•BG，AC=4，
∴S_△ABC=

×4BG=2BG，
∴当BG最大时，S_△ABC的值最大，
∵BG≤AB，AB=2，
∴BG≤2，
∴BG的最大值为2，
∴当BG=2时，S_△ABC最大=4，
∴三角形ABC面积最大为4，
故答案为：4. $菁优网$
（2）如图2，连接BD，
∵CD+BC=10，
∴（CD+BC）²=100，
∴CD²+BC²+2CD•BC=100，
∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，
∴CD²+BC²=AB²+AD²=BD²，
∴CD²+BC²=2AD²，
∴2AD²+2CD•BC=100，
∴

AD²+

CD•BC=25，
∵S_△ABD=

AD²，S_△CBD=

CD•BC，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=

AD²+

CD•BC=25，
∴四边形ABCD的面积为25．
（3）如图3，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∵∠BAD+∠BCD=180°， $菁优网$
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF，
∵∠AEB=∠F=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF，CE=CF，S_△ABE=S_△ADF，
∵∠AEC=∠F=90°，AC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴S_△ACE=S_△ACF，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABE+S_{四边形AECD}=S_△ADF+S_{四边形AECD}=S_△ACE+S_△ACF=2S_△ACE，
设AE=m,CE=n,则S_{四边形ABCD}=2S_△ACE=2×

AE•CE=mn,
∵AE²+CE²=AC²，AC=8，
∴m²+n²=64，
由（m-n）²≥0得mn≤

（m²+n²），
∴mn≤32，
∴S_{四边形ABCD}≤32，
∴S_{四边形ABCD最大}=32，
∴四边形ABCD面积的最大值是32．

[点评]

此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，运用转化思想正确地表示四边形的面积是解题的关键．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

24844. （2022•爱知中学•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
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共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:1.75

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.5

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23062. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5

．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
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共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:1.5

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61390. （2023•爱知中学•七上期末）如图，已知△ABC中，∠B=90°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且CE=DE．
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（1）如图①，如果AB=6，BC=3，那么平移的距离等于；（请直接写出答案）
（2）如图②，将△DEF绕着点E逆时针旋转90°得到△CEG，连接AG，如果AB=a,BC=b,求△ACG的面积；
（3）如图③，在（2）题的条件下，分别以AB，BC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S₁，S₂，且满足S₁-S₂=16，如果平移的距离等于8，求出△ACG的面积．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.25

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.25

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20179. （2021•西工大附中•五模）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，连接BD，∠A＝∠E，AC＝ED．求证：∠CBD＝∠CDB．

共享时间:2021-06-03 难度:3 相似度:1.25

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21196. （2019•爱知中学•一模）如图，已知AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AF=BE，CE=DF，求证：∠C=∠D．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.25

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23418. （2020•西工大附中•八上二月）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）△ABC的面积是．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂．
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24220. （2021•交大附中•七下期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，AD=EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB=2，BE=3，求CD的长．
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共享时间:2021-05-06 难度:4 相似度:1.25

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24841. （2022•爱知中学•八下期中）如图，AD⊥BD，AC⊥BC，AD与BC交于点O，AD=BC．
求证：OC=OD．
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共享时间:2022-05-25 难度:3 相似度:1.25

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.25

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25103. （2022•铁一中学•八下期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F，分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE，∠A=30°，求∠DEF的度数．
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25677. （2023•陕西省•真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
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共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.25

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.25

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.25

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2022-05-18

初中数学 | 八年级下 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市碑林区铁一中学八下期中数学试卷

更新:2022-05-18 05:54浏览量:688

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