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231964. (2025•西安八十三中•高二下一月) 已知函数,其中a∈R.
(1)若函数fx)的最小值为a2,求a的值;
(2)若存在0<x1x2,且x1+x2=2,使得fx1)=fx2),求a的取值范围.
共享时间:2025-04-16 难度:1
[考点]
利用导数研究函数的最值,
[答案]
(1)a=1.
(2)(1,+∞).
[解析]
解:(1)函数定义域为{x|x>0},
f′(x)=
a≤0,则f′(x)<0,fx)在(0,+∞)上单调递减,无最小值,
a>0,由f′(x)=0得x
所以在(0,)上,f′(x)<0,fx)单调递减,
在(,+∞)上,f′(x)>0,fx)单调递增,
所以fx)的最小值,极小值为f)=aln+a
aln+aa2,得lna+a=1,
ga)=lna+a,则g′(a)=+1>0,
所以ga)为(0,+∞)上的增函数,且g(1)=1,解得a=1,
综上所述,a=1.
(2)由fx1)=fx2),得alnx1+alnx2+
aln+=0,
x1+x2=2代入得aln+=0,
aln+=0,
aln+=0,
tt>1,φ(t)=alnt+
转化为函数φ(t)在区间(1,+∞)上有零点,
φ′(t)=,其中φ′(1)=a﹣1,
函数y=﹣t2+2at﹣1的对称轴方程为ta
a≤1,则φ′(t)<0恒成立,φ(t)在区间(1,+∞)为减函数,
又φ(1)=0,有φ(t)<0,
所以φ(t)在区间(1,+∞)无零点,
a>1,则φ′(t)=0有两个不等正实数根t1t2,设t1t2,由t1t2=1,且0<t1<1<t2
所以在(1,t2)上,φ′(t)>0,φ(t)单调递增,
在(t2,+∞)上,φ′(t)<0,φ(t)单调递减,
又φ(1)=0,得φ(t2)>φ(1)=0,
下面证明函数φ(t)在减区间(t2,+∞)上存在零点,考虑φ(t)=alnt+中含参数a
te2aa>1),则φ(e2a)=alne2a+=2a2+
a>1时,,则φ(e2a)<2a2+
ma)=2a2+
m′(a)=4ae2a
ha)=4ae2a
a>1时,h′(a)=4﹣2e2a<4﹣2e2<0,
所以函数ha)在a>1时为减函数,
因为m′(1)=4﹣e2<0,
所以m′(a)<0恒成立,
ma)=2a2+为(1,+∞)上的减函数,
所以φ(e2a)<ma)<m(1)=2+<0,
又φ(t2)>0,
所以φ(t2)φ(e2a)<0,
所以函数φ(t)在减区间(t2,+∞)上存在零点,
综上所述,a>1,
所以a的取值范围为(1,+∞).
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的最值,",属于"基础题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
本题解析属于发布者收集录入,如涉及版权请向平台申诉! !版权申诉
169195. (2020•交大附中•三模) 设函数fx)=exax+aa∈R),其中e为自然对数的底数,其图象与x轴交于Ax1,0),Bx2,0)两点,且x1x2
(1)求实数a的范围;
(2)证明:f'()<0(f'(x)为函数fx)的导函数).
共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:2
167855. (2024•西工大附中•模拟) 已知函数fx)=axlnxa,且fx)≥0.
(1)求a
(2)设gx)=xfx),证明:gx)存在唯一的极大值点x0,且gx0)<
共享时间:2024-03-05 难度:1 相似度:2
168851. (2021•西工大附中•十二模) .已知函数fx)=lnxgx)=x2
(1)若不等式fx)≤ax﹣1对x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的范围;
(2)若正项数列{an}满足a1an+1,数列{an}的前n项和为Sn,求证:+1.
共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:2
168344. (2022•长安区一中•三模) 已知函数fx)=ex
(1)若关于x的不等式fx)≥a(sinx+cosx)在上恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当时,证明:fx)≥sinx+cosx
共享时间:2022-04-07 难度:1 相似度:2
168253. (2021•西安中学•五模) 已知函数fx)=ex﹣1﹣axa∈R).
(1)试讨论函数fx)的零点个数;
(2)若函数gx)=lnex﹣1)﹣lnx,且f[gx)]<fx)在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:2
168229. (2021•西安中学•四模) 已知函数fx)=(x+1)lnxx+1.
(Ⅰ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:(x﹣1)fx)≥0.
共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:2
168105. (2023•西工大附中•十三模) 已知函数fx)=ex(1+alnx),其中a>0,设f′(x)为fx)导函数.
(Ⅰ)设gx)=exf′(x),若gx)≥2恒成立,求a的范围;
(Ⅱ)设函数fx)的零点为x0,函数f′(x)的极小值点为x1,当a>2时,求证:x0x1
共享时间:2023-07-20 难度:1 相似度:2
168082. (2023•西工大附中•十三模) 已知函数fx)=ex(1+alnx),其中a>0,设f′(x)为fx)导函数.
(Ⅰ)设gx)=exf′(x),若gx)≥2恒成立,求a的范围;
(Ⅱ)设函数fx)的零点为x0,函数f′(x)的极小值点为x1,当a>2时,求证:x0x1
共享时间:2023-07-27 难度:1 相似度:2
166836. (2024•西安八十五中•一模) 已知函数fx)=a2x+a﹣2x+maxax)(a>0且a≠1).
(1)若m=2,求函数fx)的最小值;
(2)若fx)≥﹣1恒成立,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-03-12 难度:1 相似度:2
167083. (2023•西安中学•高三上四月) 已知函数fx)=ex+ax2e2x
(1)若曲线在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,求函数fx)的单调区间;
(2)若x∈(0,1)时,总有fx)>xexe2x+1,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:2
167192. (2023•周至四中•一模) 已知函数fx)=lnxax
(1)当a=2,求fx)的极值;
(2)若fx)≤﹣eax恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-03-04 难度:2 相似度:1.5
168460. (2021•西安中学•七模) 已知函数fx)=
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若x1x2x1x2)是fx)的两个零点,求证:
共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:1.5
167062. (2023•西安中学•高三上一月) 已知a∈R,函数fx)=log2+a).
(1)当a=5时,解不等式fx)>0;
(2)若关于x的方程fx)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.
(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数fx)在区间[tt+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
共享时间:2023-10-30 难度:2 相似度:1.5
167040. (2023•西安中学•高三上一月) 已知函数fx)=lnxax﹣2(a≠0).
(1)讨论函数fx)的单调性;
(2)若函数fx)有最大值M,且Ma﹣4,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-10-27 难度:2 相似度:1.5
168299. (2022•西工大附中•一模) 已知函数fx)=ax+x2lnx
(1)证明:当a≤0时,函数fx)有唯一的极值点;
(2)设a为正整数,若不等式fx)<ex在(0,+∞)内恒成立,求a的最大值.
共享时间:2022-03-12 难度:2 相似度:1.5

dygzsxyn

2025-04-16

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