在平面直角坐标系中已知四点把坐标系平面沿轴折为直二面角求证求平面和平面的夹角的余弦值求三棱锥的体积

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231145. （2016•西工大附中•四模）在平面直角坐标系xOy中，已知四点A（12，0），B（﹣4，0），C（0，﹣3），D（﹣3，﹣4），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．

（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面ADO和平面ADC的夹角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣AOD的体积．

共享时间:2016-04-17 难度:3

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（Ⅰ）证明：∵B（﹣4，0），C（0，﹣3），D（﹣3，﹣4），
∴k_OD•k_BC＝•

＝

＝﹣1，
即OD⊥BC，
当把坐标系平面沿y轴折为直二面角后，OA⊥平面BOC，
∴OA⊥BC，
∵OA∩OD＝O，
∴BC⊥平面AOD，
∵AD⊂平面AOD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ）建立以O为坐标原点，OA，Oy，OB分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（12，0，0），B（0，0，4），C（0，﹣3，0），D（0，﹣4，3），
则由（1）知平面ADO的一个法向量为

＝（0，﹣3，﹣4），
设平面ACD的法向量为

＝（x，y，z），
则

＝（﹣12，﹣3，0）

＝（﹣12，﹣4，3），

＝（0，﹣1，3），
则

•

＝﹣12x﹣3y＝0，

•

＝﹣y+3z＝0，
令y＝12，则x＝﹣3，z＝4，即

＝（﹣3，12，4），
则cos＜

，

＞＝

＝

，
∵平面ADO和平面ADC的夹角是锐角，
∴平面ADO和平面ADC的夹角的余弦值是

；
（Ⅲ）V_C_﹣AOD＝V_A_﹣COD＝

×OA•S_△OCD＝

×3×3×12＝18．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

261. （2014•陕西省•真题）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．

共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:1.67

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167807. （2024•西安一中•二模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且

，|PA|＝2．
（1）求三棱锥B﹣ACP的体积；
（2）求证：AB⊥PC．

共享时间:2024-03-29 难度:2 相似度:1.67

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167349. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:1.67

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166835. （2024•西安八十五中•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，

．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．

共享时间:2024-03-12 难度:2 相似度:1.67

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166799. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A₁A＝A₁B₁＝2，侧棱A₁A⊥平面ABC，点D是棱CC₁的中点．
（1）证明：BB₁⊥平面AB₁C；
（2）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．

共享时间:2024-10-20 难度:2 相似度:1.67

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167670. （2024•西安中学•一模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，直线C₁B⊥平面ABC，平面AA₁ C₁C⊥平面BB₁C₁C．
（1）求证：AC⊥BB₁；
（2）若AC＝BC＝BC₁＝2，在棱A₁B₁上是否存在一点P，使二面角P﹣BC﹣C₁的余弦值为

？若存在，求

的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:1.67

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167238. （2023•周至六中•高二上一月）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的侧面A₁ADD₁是正方形．
（1）证明：A₁D⊥平面ABD₁；
（2）若AD＝2，AB＝4，求二面角B₁﹣AD₁﹣C的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:1.67

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167965. （2023•师大附中•十一模）如图所示，已知三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，AB₁⊥BB₁，CB₁⊥BB₁，∠ABB₁＝∠CBB₁＝60°，AB⊥BC，BB₁＝1．
（1）求二面角A﹣BB₁﹣C的余弦值；
（2）设E、F分别是棱AC、A₁C₁的中点，若EF⊥平面ABC，求棱台ABC﹣A₁B₁C₁的体积．

共享时间:2023-07-18 难度:2 相似度:1.67

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167940. （2023•师大附中•三模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67

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22111. （2021•西安中学•二模） $德优题库$ 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB=∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D-AA₁-C的正弦值．

共享时间:2021-03-18 难度:3 相似度:1.67

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167830. （2024•长安区一中•一模）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-04 难度:3 相似度:1.34

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167326. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．