如图内接于为的直径延长至点使得求证是的切线若求的长

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212240. （2025•滨河中学•七模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA至点D，使得∠ACD＝∠CBA．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BO＝5，

，求CD的长．

共享时间:2025-06-03 难度:5

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相似

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[考点]

相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，

[答案]

（1）见解析；

（2）

．

[解析]

（1）证明：△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，如图，连接OC，

∴OC＝OB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠OCB，∠ACO+∠OCB＝90°，
∵∠ACD＝∠CBA，
∴∠DCA＝∠OCB，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝5，
∴AB＝2OB＝10，
在Rt△ACB中，

，
∴BC＝2AC，
∵∠ACD＝∠CBA，∠D＝∠D，
∴△DCA∽△DBC，
∴

，
∴CD＝2AD，CD²＝AD•BD＝AD•（AD+AB）
∴4AD²＝AD²+AD•AB，即：4AD²＝AD²+10AD，
解得：

或AD＝0（不合题意，舍去），
∴

．

[点评]

本题考查了"相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

4687. （2013•交大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝

，求BF的长．

共享时间:2018-06-25 难度:4 相似度:1.35

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2770. （2020•益新中学•模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF＝2，AE＝EF＝

，求OA的长．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:1.35

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6518. （2015•高新一中•真题）已知在△ABC中，∠B＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD＝AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:3 相似度:1.07

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6343. （2017•师大附中•模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠CAD＝∠B．
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝

，BC＝2．求⊙O的半径．

共享时间:2017-06-08 难度:4 相似度:1.07

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4537. （2018•交大附中•模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于点E，D是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=4，AC=8，求CE的长．
$德优题库$

共享时间:2018-06-06 难度:4 相似度:1.07

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．