如图在中以为直径的交于点连接过点作的切线交于点延长交于点连接求证若的直径为求的长

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212032. （2025•铁一中学•二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cosC＝

，求CF的长．

共享时间:2025-03-24 难度:3

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[考点]

等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，

[答案]

（1）证明见解答过程；

（2）

．

[解析]

（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
在Rt△ADC中，cosC＝

＝

，
∴CD＝4，
在Rt△CED中，cosC＝

＝

，
∴CE＝

，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE＝

，
∴CF＝

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

20159. （2021•西工大附中•四模）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）证明：∠CDE＝∠ABD；
（2）若AB＝26，sin∠CDE＝

，求DC的长．

共享时间:2021-05-31 难度:4 相似度:1.75

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4687. （2013•交大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝

，求BF的长．

共享时间:2018-06-25 难度:4 相似度:1.75

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20478. （2020•铁一中学•八模） $德优题库$ 如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P=

，CF=5，求BE的长．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:1.34

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21438. （2020•铁一中学•八模）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝

，CF＝5，求BE的长．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.34

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6343. （2017•师大附中•模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠CAD＝∠B．
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝

，BC＝2．求⊙O的半径．

共享时间:2017-06-08 难度:4 相似度:1.34

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
$德优题库$

共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.17

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878. （2013•陕西省•真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点．
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.17

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21201. （2019•爱知中学•一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB于点G，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，连接CE，交AB于点F．
（1）求证：PC=PF．
（2）若CF=12，PG=13，且tan∠PCF=

，求⊙O的半径．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.17

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1.17

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25683. （2023•陕西省•真题）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD=BC；
（2）若⊙O的半径r=3，BE=6，求线段BF的长．
$德优题库$

共享时间:2023-07-20 难度:3 相似度:1.07

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19061. （2016•交大附中•模拟）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB＝AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝12，CD＝10，求⊙O半径的长．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:0.96

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23922. （2022•高新一中•二模）问题提出
（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB=2，则△ABC的面积为．
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD=1，求图中阴影部分的面积．
问题解决
（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB=∠BDC=60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．
$德优题库$