如图在中以为直径作交于点过点作垂足为延长交的延长线于点求证为的切线若求的值

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211799. （2025•西工大附中•四模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE=2，BF=6，求sinC的值．

共享时间:2025-04-29 难度:4

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相似

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[考点]

等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定与性质，

[答案]

（1）证明见解析；

（2）

．

[解析]

（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠C＝∠ODA，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴半径OD⊥DE，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：OD∥BC，
∴△FBE∽△FOD，
∴OD：OF＝BE：FB＝2：6＝1：3，
∵OB＝OD，
∴OB：OF＝1：3，
∴OB：BF＝1：2，
∵OB：AB＝1：2，
∴AB＝BF＝6，
∴BC＝AB＝6，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠BED＝∠ADB＝90°，
∴△BED∽△BDA，
∴BE：BD＝BD：AB，
∴2：BD＝BD：6，
∴BD＝2

，
∴sinC＝

＝

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定与性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

4687. （2013•交大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝

，求BF的长．

共享时间:2018-06-25 难度:4 相似度:2

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211851. （2025•西工大附中•七模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G为

上的一点，连接BG，交线段CD于点F，E为BA的延长线上一点，∠BGE＝∠BFC．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，

，求BG的长．

共享时间:2025-06-07 难度:3 相似度:1.75

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212032. （2025•铁一中学•二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，cosC＝

，求CF的长．

共享时间:2025-03-24 难度:3 相似度:1.75

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196657. （2024•西工大附中•九上期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O过BC的中点D，过点D作ED⊥AC于E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝3，cos∠BAC＝

，求CE的长．

共享时间:2024-02-18 难度:3 相似度:1.75

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196183. （2024•师大附中•九上期末）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，过点B作BE⊥CD交CD于E，交⊙O于F，∠EBC＝2∠DAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若

，⊙O的半径为5，求BC的长．

共享时间:2024-02-02 难度:3 相似度:1.75

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189838. （2025•高新一中•九上期末）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D是⊙O上一点，连接AD，∠DAB＝2∠B，连接CD，过点C作CE⊥AD交DA的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若OA＝10，tanD＝

，求CE的长．

共享时间:2025-02-22 难度:3 相似度:1.75

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211122. （2025•高新三中•一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且

，BE＝2，求FD的长．

共享时间:2025-03-13 难度:3 相似度:1.75

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211643. （2025•唐南中学•一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinB＝

，求FD的长．

共享时间:2025-03-09 难度:4 相似度:1.5

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61341. （2023•爱知中学•九上期末） $德优题库$ 如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AD，DB，DE，∠A=2∠BDE，∠C=∠ABD，CE交AB的延长线于点C．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC=2，CE=6，求AD的长．

共享时间:2023-03-02 难度:2 相似度:1.5

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23920. （2022•高新一中•二模）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=8，tan∠BAC=

，求DE的长．
$德优题库$

共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.5

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211564. （2025•西安湖滨中学•一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，

，求ED的长．

共享时间:2025-03-02 难度:4 相似度:1.5

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．