如图在等腰中以的中点为圆心作分别与相切于点交于点点在点右侧连接并延长交的延长线于点求证若求的长

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211226. （2025•新城区•三模） $德优题库$ 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC的中点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切于点D、E，交BC于点F（点F在点O右侧），连接DF并延长交AC的延长线于点G．
（1）求证：CF=CG；
（2）若AB=AC=10，求AG的长．

共享时间:2025-04-02 难度:2

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相似

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[考点]

等腰直角三角形，圆周角定理，

[答案]

（1）见详解；

（2）

．

[解析]

（1）证明：连接OD，

∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BDO＝∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODF＝∠G，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD
∵∠OFD＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠G，
∴CF＝CG；
（2）解：连接OE，

∵⊙O与 AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
又∵∠BAC＝90°，OD⊥AB，OE⊥AC，
所以四边形ADOE是矩形，
∵O是BC的中点，
在等腰 Rt△ABC中，OA＝OB＝OC，
∵OD＝OE，
∴矩形 ADOE是正方形．
∵AB＝AC＝10，
在等腰Rt△ABC中，BC＝10

，
由条件可知

．
设CF＝CG＝x，则AC+CG＝AG，
∵AC＝10，
∴AG＝10+x．
又∵

，CF＝x，
∴

，
在等腰直角三角形OEC中，∠ECO＝45°，
OE＝OC•sin45°＝5，
则OF＝OE＝5，
即

，
解得

．
∴

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形，圆周角定理，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6169. （2017•师大附中•模拟）（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，请你求出四边形ABCD的面积．
问题解决：
（3）小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这种材料板的形状如图3所示，并且满足在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，DB=4，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．
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共享时间:2017-06-21 难度:5 相似度:1.29

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25275. （2023•高新一中•八下期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＝BC＝4

，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是．
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共享时间:2022-05-29 难度:2 相似度:1

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24660. （2018•师大附中•八上期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．

共享时间:2019-03-02 难度:3 相似度:1

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24123. （2018•汇知中学•八下期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC=BD，
（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）判断△BDE的形状．
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共享时间:2018-05-26 难度:4 相似度:1

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780. （2019•陕西省•暑假）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1

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21438. （2020•铁一中学•八模）如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P＝

，CF＝5，求BE的长．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:0.83

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6518. （2015•高新一中•真题）已知在△ABC中，∠B＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD＝AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:3 相似度:0.83

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6343. （2017•师大附中•模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
（1）求证：∠CAD＝∠B．
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝

，BC＝2．求⊙O的半径．

共享时间:2017-06-08 难度:4 相似度:0.83

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20478. （2020•铁一中学•八模） $德优题库$ 如图，AB为⊙O的直径，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中点，弦CG⊥AB于点D，交AE于点F，过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点P，连接BE
（1）求证：PC∥AE；
（2）若sin∠P=

，CF=5，求BE的长．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:0.83

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4537. （2018•交大附中•模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于点E，D是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=4，AC=8，求CE的长．
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共享时间:2018-06-06 难度:4 相似度:0.83

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23398. （2020•铁一中学•八上二月）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC于F．
（1）探究线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明；
（2）若BD=3、CF=4，求AD的长．
$德优题库$