如图在平面直角坐标系中点的坐标为点为直线上的动点以为边作等边则的最小值为

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197735. （2024•西工大附中•八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2

），点P为直线y＝﹣

x上的动点，以AP为边作等边△APQ，则OQ的最小值为（　　）

A.4

B.2

共享时间:2024-11-24 难度:4

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[考点]

垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，

[答案]

[解析]

解：如图，过点A作AG⊥x轴于G，交直线y＝﹣

x于H，在OG的延长线上截取GB＝OG，连接OA、AB、BQ、OQ，

∵点A的坐标为（2，2

），
∴AG＝2

，OG＝2，
∴OB＝2OG＝4，
在Rt△AOG中，OA＝

＝

＝4，
∵OG＝BG，AG⊥OB，
∴AB＝OA＝4＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠AOB＝60°，
∴∠OAP+∠PAB＝60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴∠QAB+∠PAB＝60°，
∴∠OAP＝∠QAB，
在△AOP和△ABQ中，

，
∴△AOP≌△ABQ（SAS），
∴∠AOP＝∠ABQ，
∵G（2，0），H（2，﹣

），
∴GH＝

，
∴OH＝

＝

，
∴OH＝2GH，
∴∠HOG＝30°，
∴∠AOP＝∠AOB+∠HOG＝60+30°＝90°，
∴∠ABQ＝90°，即点Q在过点B垂直AB的直线上运动，
当且仅当OQ⊥BQ时，OQ最小，
过点O作OQ₁⊥BQ于Q₁，
∵∠OBQ₁＝∠ABQ﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∴OQ₁＝

OB＝

×4＝2，
故选：B．

[点评]

本题考查了"垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21184. （2019•爱知中学•一模）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF=2，则BP=（　　）

A.3

B.4

C.5

D.6

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:1.4

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868. （2013•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.2

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179791. （2025•交大附中•八下期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：BD＝DE；
乙：∠CDE＝∠CAB；
丙：AB+EC＝AC．
下列判断正确的是（　　）

A.只有甲对

C.只有乙对

B.．只有丙对

D.三人说的都对

共享时间:2025-05-24 难度:1 相似度:1.2

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179667. （2025•铁一中学•八下期中） $德优题库$ 如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=24，BC=18，则AF的值为（　　）

A.19

B.20

C.21

D.22

共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.2

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179666. （2025•铁一中学•八下期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝4，BC＝2，则AD的长为（　　）

A.．

B.．3

C.．

共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.2

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179119. （2025•师大附中•八下期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA并交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N，若

，

，则AM的长为（　　）

A.2

D.．3

共享时间:2025-05-21 难度:1 相似度:1.2

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172495. （2024•师大附中•九上二月）如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．若S_△ACD＝3，则S_△ABC＝（　　）

A.5

B.6

C.．7

D.．8

共享时间:2024-12-22 难度:1 相似度:1.2

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27720. （2023•爱知中学•八上一月） $德优题库$ 如图，已知A村庄与B村庄相距12km,A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知∠BAC=∠ABD=90°，AC=2km,DB=3km.现要在线段AB之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（　　）km.

A.10

B.17

C.14

D.13

共享时间:2023-10-18 难度:2 相似度:1.2

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24131. （2021•高新一中•七下期中）如图，从人行横道线上的点P处过马路，下列线路中最短的是（　　）
$德优题库$