如图点为矩形内一点请过点作一条直线将矩形的面积分为相等的两部分如图在平行四边形中为边上一点且请问在边上是否存在一点使得直线将平行四边形的面积分为相等的两部分如果存在求出线段的长如果不存在请说明理由如图现有一块平行四边形空地米米为对角线上一点且计划过点修一条小路使得分别在线

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179657. （2024•铁一中学•九上期中）（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线l，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，E为边DC上一点，且DE＝1，请问在边AB上是否存在一点F，使得直线EF将平行四边形ABCD的面积分为相等的两部分，如果存在，求出线段EF的长；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，现有一块平行四边形空地ABCD，AB＝60米，BC＝80米，∠B＝60°，P为对角线AC上一点，且PC＝3PA，计划过点P修一条小路EF，使得E、F分别在线段AD、AB上，小路EF的右侧区域种植花卉．如图，△CEF的区域种郁金香，△BFC与△DEC的区域种紫罗兰，已知郁金香的费用为每平方米200元，紫罗兰的费用为每平方米100元，请问种植费用最少是多少元？（结果保留根号）

共享时间:2024-11-17 难度:4

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[考点]

四边形综合题，特殊角的三角函数值，面积平分问题，

[答案]

（1）详见解析；

（2）4；

（3）

元．

[解析]

解：（1）如图，

（2）存在，理由如下：
连接AC，BD，交于点O，

当EF过点O时，EF平分平行四边形ABCD，
过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
在Rt△ADG中，DG＝AD•sin∠DAG＝4•sin60°＝2

，AG＝AD•cos∠DAG＝4•cos60°＝2，
∵AB∥CD，DG⊥AB，
∴DG⊥CD，
∵EH⊥AB，
∴四边形EGHE为矩形，
∴

，DE＝GH＝1，
∴HF＝AF﹣AG﹣GH＝5﹣2﹣1＝2，
在Rt△EHF中，

；
（3）∵PC＝3PA，
∴S_△PCE＝3S_△PAE，S_△PCF＝3S_△APF，
∴S_△CEF＝3S_△AEF，
∴S_{四边形AECF}＝4S_△AEF，

过点A作AM⊥BC于点M，则

米，
∴S_▱ABCD＝BC•AM＝

m²，
∴S_△BFC+S_△CED＝S_▱ABCD﹣S_{四边形AECF}＝2400

﹣S_{四边形AECF}，
设总费用为W元，则W＝200•S_△CEF+100（S_△BFC+S_△CED）＝200×3S_△AEF+100（S_▱ABCD﹣S_{四边形AECF}）＝600S_△AEF+240000

﹣100S_{四边形AECF}＝200S_△AEF+24000

，
故要使总费用W最少，即要求 S_△AEF 最小．
连接BD交AC于点O，则O为AC，BD的中点，
过点O分别作OG∥AD交AB于点G，交EF于点M，作OH∥AB交AD于点H，连接PH，PG，四边形AGOH为平行四边形，
由（1）可知，EF平分▱AGOH的面积，
∴S_△AEF＝S_△AEG+S_△FPG，
当F与G重合时，即PE＝PF时，S_Δ△FPG＝0，此时E与H重合，

，
故 S_△AEF最小为

，
∴总费用W＝200S_△AEF+240000

≥200×300

+240000

＝300000

元，
∴种植费用最少为

元．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，特殊角的三角函数值，面积平分问题"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.33

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811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.33

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.33

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1140. （2020•陕西省•副题）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF=MN，他们测得BD=4.5米，EM=1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？
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共享时间:2020-07-31 难度:3 相似度:0.83

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6235. （2017•铁一中学•模拟）计算：﹣

sin60°．

共享时间:2017-07-03 难度:2 相似度:0.66

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6315. （2017•西工大附中•模拟）如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD，已知CD＝3米，小宏在A点测得D点的仰角为31°，再向教学楼前进15米到达B点，测得C点的仰角为45°，若小宏的身高AM＝BN＝1.7米，不考虑其它因素，求教学楼DF的高度．（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin31°≈0.5150，cos31°≈0.8572，tan31°≈0.6009）．

共享时间:2017-06-26 难度:3 相似度:0.66

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3110. （2019•滨河中学•模拟）计算：﹣1²⁰¹⁸+

﹣（

﹣1）⁰﹣|tan60°﹣2|．

共享时间:2019-06-03 难度:2 相似度:0.66

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6159. （2017•师大附中•模拟）计算：|

﹣

共享时间:2017-06-21 难度:3 相似度:0.66

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6340. （2012•师大附中•真题）如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像A₁的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像B₁的俯角为30°，求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.73）

共享时间:2017-06-08 难度:3 相似度:0.66

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441. （2016•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是　　．
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:0.66

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20161. （2021•西工大附中•四模）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，若S_△BCE＝4．则矩形ABCD的面积为______．
问题探究
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC边上的中线，AD＝6，求△ABC面积的最大值．
问题解决
（3）为迎接十四运，园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场地供市民观赏．如图③所示，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一点且DE＝3AE，∠BEC＝60°，AB＝6米．为了种植更多的鲜花，要求四边形ABCD的面积尽可能大．请问四边形ABCD面积是否存在最大值？如果存在，请计算四边形ABCD面积的最大值；如果不存在，请说明理由．