如图点为矩形内一点请过点作一条直线将矩形的面积分为相等的两部分如图在平行四边形中为边上一点且请问在边上是否存在一点使得直线将平行四边形的面积分为相等的两部分如果存在求出线段的长如果不存在请说明理由如图现有一块平行四边形空地米米为对角线上一点且计划过点修一条小路使得分别在线

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179657. （2024•铁一中学•九上期中）（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线l，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，E为边DC上一点，且DE＝1，请问在边AB上是否存在一点F，使得直线EF将平行四边形ABCD的面积分为相等的两部分，如果存在，求出线段EF的长；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，现有一块平行四边形空地ABCD，AB＝60米，BC＝80米，∠B＝60°，P为对角线AC上一点，且PC＝3PA，计划过点P修一条小路EF，使得E、F分别在线段AD、AB上，小路EF的右侧区域种植花卉．如图，△CEF的区域种郁金香，△BFC与△DEC的区域种紫罗兰，已知郁金香的费用为每平方米200元，紫罗兰的费用为每平方米100元，请问种植费用最少是多少元？（结果保留根号）

共享时间:2024-11-17 难度:4

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[考点]

四边形综合题，特殊角的三角函数值，面积平分问题，

[答案]

（1）详见解析；

（2）4；

（3）

元．

[解析]

解：（1）如图，

（2）存在，理由如下：
连接AC，BD，交于点O，

当EF过点O时，EF平分平行四边形ABCD，
过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
在Rt△ADG中，DG＝AD•sin∠DAG＝4•sin60°＝2

，AG＝AD•cos∠DAG＝4•cos60°＝2，
∵AB∥CD，DG⊥AB，
∴DG⊥CD，
∵EH⊥AB，
∴四边形EGHE为矩形，
∴

，DE＝GH＝1，
∴HF＝AF﹣AG﹣GH＝5﹣2﹣1＝2，
在Rt△EHF中，

；
（3）∵PC＝3PA，
∴S_△PCE＝3S_△PAE，S_△PCF＝3S_△APF，
∴S_△CEF＝3S_△AEF，
∴S_{四边形AECF}＝4S_△AEF，

过点A作AM⊥BC于点M，则

米，
∴S_▱ABCD＝BC•AM＝

m²，
∴S_△BFC+S_△CED＝S_▱ABCD﹣S_{四边形AECF}＝2400

﹣S_{四边形AECF}，
设总费用为W元，则W＝200•S_△CEF+100（S_△BFC+S_△CED）＝200×3S_△AEF+100（S_▱ABCD﹣S_{四边形AECF}）＝600S_△AEF+240000

﹣100S_{四边形AECF}＝200S_△AEF+24000

，
故要使总费用W最少，即要求 S_△AEF 最小．
连接BD交AC于点O，则O为AC，BD的中点，
过点O分别作OG∥AD交AB于点G，交EF于点M，作OH∥AB交AD于点H，连接PH，PG，四边形AGOH为平行四边形，
由（1）可知，EF平分▱AGOH的面积，
∴S_△AEF＝S_△AEG+S_△FPG，
当F与G重合时，即PE＝PF时，S_Δ△FPG＝0，此时E与H重合，

，
故 S_△AEF最小为

，
∴总费用W＝200S_△AEF+240000

≥200×300

+240000

＝300000

元，
∴种植费用最少为

元．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，特殊角的三角函数值，面积平分问题"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

191908. （2023•西安市航天城第二中学•九上二月）（1）sin²30°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos²30°；
（2）

﹣tan60°．

共享时间:2023-12-27 难度:1 相似度:1.33

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190169. （2025•蓝田县•九上期末） $德优题库$ 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，且BE⊥AF交AF于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：AE=DF；
（2）如图②，若四边形ABCD是矩形，BM平分∠ABC分别交AD、AF于点M、H，当点E为AM的三等分点，且AB=9，BC=12时，求HM的长．

共享时间:2025-02-01 难度:1 相似度:1.33

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190288. （2025•高新区•九上期末）计算：

．

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.33

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190372. （2025•西工大附中•九上期末）（1）如图①，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6．点P为AB上动点，则CP长度的最小值为．
（2）如图②，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．点P为平面内一点，CP=1，PQ⊥AB于点Q．求PQ长度最小值．
（3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形ABCD中，AB=CD=40米，AD=BC=30米，∠ABC=90°．种植方案是：将四边形ABCD分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点E、F在AB、DC上，AE=2DF，CQ⊥EF于点P，交AD于点Q．现决定先对△ABP区域进行种植实验，请你确定△ABP的面积是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面积最小值；若没有最小值，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.33

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190395. （2025•西工大附中•八上期末）（1）发现问题
如图①，已知在△ABC中，AC=AB，∠BAC=30°，点O为△ABC内一点，且OB=OC=BC，连接AO，则∠AOC的度数为．
（2）探究问题
如图②，在（1）的条件下，作CD⊥AC，且CD=CA，连接AD、BD，求∠ABD的度数．
（3）解决问题
如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且DA=DB，AD⊥BD，设计人员计划在△ABD内确定一点E，满足以下条件：AD=AE，∠DAE=30°，DE⊥CE，DE=CE．现准备在C、E两处建造两个凉亭，DE、EB、BC、CD为休闲小道，若DE=60米，试求四边形BCDE的面积．
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共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.33

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190494. （2025•碑林区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，AD与BE相交于点C，连接AB，DE，∠A＝∠E，

，若AB的长为21，求DE的长；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABCD是一个植物园的花卉区，经测量，AB＝BC＝CD＝AD，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线AC上取一点E，在边BC的延长线上取一点F，连接BE，EF，DF，EF与CD交于点G，根据工作人员的规划要求，BE与EF相等，EF与CD互相垂直，在扩建部分（△CDF区域内）新增加一种花卉，请你判断∠CDF与∠ADC之间的数量关系，并说明理由．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.33

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190509. （2025•碑林区•九上期末）计算：

共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.33

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190534. （2025•西安三中•九上期末）计算：3tan30°+tan45°+2sin30°．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.33

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190594. （2025•交大附中•九上期末）【问题初探】
如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　　；
【应用拓展】
某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形ABCD，经测量，∠B＝30°，∠C＝60°，AB＝75m，BC＝100m，CD＝40m．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃△EMF，E、F在BC边上．为保证整体设计美观实用，要求BE＝CF＝40m，且满足∠EMF＝60°．为了给学生提供休息区域，计划在AB边上建造凉亭N和两条小路DN及NM．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭N到点B的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：

，

）

共享时间:2025-02-14 难度:1 相似度:1.33

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190634. （2025•二十六中•九上期末） 2cos30°+

sin45°﹣tan60°

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.33

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191817. （2023•经开一中•九上二月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.33

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191866. （2024•经开一校(原经发)•八下一月）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
$德优题库$

共享时间:2024-04-13 难度:1 相似度:1.33

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192152. （2024•高新一中•八下一月）【问题出示】
（1）如图①，等腰△ABC中，∠BAC=30°，BC=BA=16，点M是直线AC上的动点，线段BM的最小值是．
$德优题库$
【问题探究】
（2）如图②，线段BM最短时，在（1）的条件下，线段BN是△ABM的角平分线，点P、Q分别在边BN、BM上运动，连接MP、QP，MP+QP的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段BM最短时，在（1）的条件下，点E在边CM上运动，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接MF，求线段MF的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距离至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形ABCD各边长都为90米，且两组对边分别平行，∠B=120°，DE长30米，AB边上任意一点F，计划在线段EF、FG、DG上修建三条小路，点G处修建业主活动楼，其中EF=FG，且∠EFG=60°．小区最南边一排（即线段AD处）楼高70米，当线段DG取最小值时，点G处的业主活动楼到线段AD处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．

共享时间:2024-04-21 难度:1 相似度:1.33

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190132. （2025•莲湖区•九上期末）计算：2cos45°-cos60°•sin30°+tan45°．

共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:1.33

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192228. （2024•高新三中•八下二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，BC=4，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为；
问题探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠B=60°，点Q在BC上，CQ=12，点P在AB上，AP=4，连接PQ，E、F分别为AC、PQ的中点，求EF的长度？
问题解决：
（3）西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪ABCD内对角线AC右侧修建一个三角形池塘△CMN．如图3，∠BAC=64°，∠MCN=26°，∠MNC=90°，A为草坪入口，B为草坪出口，在人行道AM的中点E处有一个凉亭，在池塘N处是一个观景台．游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
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共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.33

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dyczsxyn

2024-11-17

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）期中数学试卷

更新:2024-11-17 11:04浏览量:59

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