如图点为矩形内一点请过点作一条直线将矩形的面积分为相等的两部分如图在平行四边形中为边上一点且请问在边上是否存在一点使得直线将平行四边形的面积分为相等的两部分如果存在求出线段的长如果不存在请说明理由如图现有一块平行四边形空地米米为对角线上一点且计划过点修一条小路使得分别在线

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179657. （2024•铁一中学•九上期中）（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线l，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，E为边DC上一点，且DE＝1，请问在边AB上是否存在一点F，使得直线EF将平行四边形ABCD的面积分为相等的两部分，如果存在，求出线段EF的长；如果不存在，请说明理由；
（3）如图3，现有一块平行四边形空地ABCD，AB＝60米，BC＝80米，∠B＝60°，P为对角线AC上一点，且PC＝3PA，计划过点P修一条小路EF，使得E、F分别在线段AD、AB上，小路EF的右侧区域种植花卉．如图，△CEF的区域种郁金香，△BFC与△DEC的区域种紫罗兰，已知郁金香的费用为每平方米200元，紫罗兰的费用为每平方米100元，请问种植费用最少是多少元？（结果保留根号）

共享时间:2024-11-17 难度:4

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[考点]

四边形综合题，特殊角的三角函数值，面积平分问题，

[答案]

（1）详见解析；

（2）4；

（3）

元．

[解析]

解：（1）如图，

（2）存在，理由如下：
连接AC，BD，交于点O，

当EF过点O时，EF平分平行四边形ABCD，
过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
在Rt△ADG中，DG＝AD•sin∠DAG＝4•sin60°＝2

，AG＝AD•cos∠DAG＝4•cos60°＝2，
∵AB∥CD，DG⊥AB，
∴DG⊥CD，
∵EH⊥AB，
∴四边形EGHE为矩形，
∴

，DE＝GH＝1，
∴HF＝AF﹣AG﹣GH＝5﹣2﹣1＝2，
在Rt△EHF中，

；
（3）∵PC＝3PA，
∴S_△PCE＝3S_△PAE，S_△PCF＝3S_△APF，
∴S_△CEF＝3S_△AEF，
∴S_{四边形AECF}＝4S_△AEF，

过点A作AM⊥BC于点M，则

米，
∴S_▱ABCD＝BC•AM＝

m²，
∴S_△BFC+S_△CED＝S_▱ABCD﹣S_{四边形AECF}＝2400

﹣S_{四边形AECF}，
设总费用为W元，则W＝200•S_△CEF+100（S_△BFC+S_△CED）＝200×3S_△AEF+100（S_▱ABCD﹣S_{四边形AECF}）＝600S_△AEF+240000

﹣100S_{四边形AECF}＝200S_△AEF+24000

，
故要使总费用W最少，即要求 S_△AEF 最小．
连接BD交AC于点O，则O为AC，BD的中点，
过点O分别作OG∥AD交AB于点G，交EF于点M，作OH∥AB交AD于点H，连接PH，PG，四边形AGOH为平行四边形，
由（1）可知，EF平分▱AGOH的面积，
∴S_△AEF＝S_△AEG+S_△FPG，
当F与G重合时，即PE＝PF时，S_Δ△FPG＝0，此时E与H重合，

，
故 S_△AEF最小为

，
∴总费用W＝200S_△AEF+240000

≥200×300

+240000

＝300000

元，
∴种植费用最少为

元．

[点评]

本题考查了"四边形综合题，特殊角的三角函数值，面积平分问题"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

193010. （2023•西安二十三中•九上二月）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S_矩形AEFG：S_▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.33

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179882. （2024•爱知中学•七下期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题．
数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化．
$德优题库$
观察上面拼图过程，计算图形面积写出相应等式
（2）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，BD=a,翻折△DEC，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时BD=b,计算梯形ABDE的面积S（S用含a,b的代数式表示）
$德优题库$
（3）如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形．ABDE中∠ABC=90°，△ABC≌△CDE，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为25πa,△ABC中草坪铺设面积为24a,假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现AC²与AB²，BC²间存在某种数量关系，请计算AC²，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:1.33

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179482. （2025•高新一中•八下期中）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．

Ων
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；
小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为　．
（2）如图3，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB...，快速地求出了阴影部分的周长为　　．
（3）如图4，已知四边形ABCD中，

，求四边形ABCD的面积．
（4）如图5，已知△BAC≌△CDE，且B、C、D在一条直线上，BA＝AC＝4，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点F满足CF＝CE且∠FCE＝90°+2α，连接EF．当α＝　　 °时，EF取得最大值，EF的最大值为　 .（注：点A、E、F均在直线BC上方）

共享时间:2025-05-19 难度:1 相似度:1.33

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179506. （2024•高新一中•八上期中） $德优题库$ 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm,BD=CD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S（cm²）与运动时间t（s）的函数图象如图②所示．
（1）BC= cm；
（2）求点P在DC段上运动时，△BCP的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）当△BCP的面积为10cm²时，求t的值．

共享时间:2024-11-25 难度:1 相似度:1.33

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179557. （2024•爱知中学•九上期中）【问题提出】
（1）如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，点E、F分别是AD、BC上的点，且EF平分菱形ABCD的面积，求EF的最小值．
【问题解决】
（2）如图②，m和n是两条平行的路，在两条路之间有一块四边形空地，即四边形ABCD．为了美化环境，市政府决定将这块空地改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点C修一条笔直的通道CE，交AD于点E，以方便市民观赏花卉．并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，CD⊥n，垂足为点D，

，

，AD＝150m，

．如果将通道记为CE，请求出AE和通道CE的长（通道的宽度忽略不计）．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:1.33

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179650. （2024•铁一中学•九上期中）计算：
（1）tan45°﹣cos60°+tan60°；
（2）

．

共享时间:2024-11-17 难度:1 相似度:1.33

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179681. （2025•铁一中学•八下期中）在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图I，△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：他将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，连接PD，可得△PCD为等边三角形，故PC＝PD，由旋转可得PA＝DE，因此PA+PB+PC＝DE+PB+PD．
（1）由　　（数学依据）可知：PA+PB+PC的最小值与线段　　的长度相等，此时∠BPC＝　　 °．
（2）【类比应用】如图2，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，BC＝4，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中∠B＝90°，∠BAD＝105°，AB＝BC＝40米，

米．规划部门计划在等腰Rt△MNQ区域种植花卉，其中M、N是边AB、BC上的两个动点，且始终保持BM＝CN．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊．为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求出PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.33

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179784. （2025•交大附中•七下期中）在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件．
【阅读理解】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试探究AC、AB、AD的数量关系．
小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，则得到△ADC≌△EDB，他所用到的判定定理是　　（用字母表示），从而得出BE＝AC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形的三边关系，即可得AC+AB 　　 2AD．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【问题解决】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．
【应用提升】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM⊥CD，

，若△ACD面积为21，求△BCD的面积．

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:1.33

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179834. （2025•西安八十三中•八下期中）【小试牛刀】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠D＝30°，∠BAD+∠BCD＝　　；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，若

，CD＝2，连接BD，求出BD的长度；
爱思考的小李同学将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBD′，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算．
【学以致用】
（3）如图2，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，

，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.33

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179906. （2024•爱知中学•八下期中）综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：
（1）如图1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°，得到Rt△A′B′C′，点B′恰好落在斜边AC上，连接AA′，则∠AA′B′＝　　．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC边上，BD＝2，CE＝3，且∠DAE＝45°，请你求出DE的长度．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝6，CD＝10，CF＝5，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，求线段BE的长．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.33

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175627. （2024•理工大附中•九上一月）【问题提出】
（1）如图①，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC的三条边上，其中S_△ABC=15，BC=6，DE=4，求矩形DEFG的面积；
【问题解决】
（2）小红同学参加了物理课外兴趣小组．图②是其制作的一个光电感应装置在某时刻的平面情景图，在边长为20cm的正方形ABCD中，P为AB的中点，点P位置是一个激光发射器，可以左右来回180°转动，同时在正方形ABCD内发出两条互相垂直的蓝色光线PE、PF，点E、F是落在AD、DC、CB三边上的两个光点，E、F、P三点会在正方形ABCD内自动感应出一个发光△PEF，请问在激光器转动发射的过程中，形成的△PEF面积有无最大值，如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.33

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179977. （2024•航天中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE=90°，连接BE，若AD=2，BD=5，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）为了开展劳动实践教育，培养科学素养，实现多维学科融合．某校规划了一块如图3所示的四边形生物科学基地ABDC，经测量：∠ABC=90°，AB=BC，∠BDC=45°．连接AD，将基地分成两部分种植不同的植物，若△ACD的面积为8平方米，则线段CD的长度为多少？
$德优题库$

共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.33

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180237. （2023•航天中学•八上二月）计算：cos²45°+tan30°•sin60°．

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:1.33

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180248. （2023•航天中学•八上二月）（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC边上的动点，连接EG，HF相交于点P．且∠EPH＝∠A．
①填空：

＝　　．
②如图2，当四边形ABCD为长方形，AB＝4，BC＝6时，求

的值．
（2）如图3，这是某城市中央公园的设计示意图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝0.8km，AD＝1km．公园设计师计划在公园内修建两条观光小路EG，FH（小路宽度不计，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC边上），根据实际需要，∠EPH＝∠A．若先修好的观光小路EG长为1.1km，则另一条观光小路FH多长？

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:1.33

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180297. （2023•逸翠园中学•八上二月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2023-12-10 难度:1 相似度:1.33

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dyczsxyn

2024-11-17

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）期中数学试卷

更新:2024-11-17 11:04浏览量:21

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