已知圆过点和且与直线相切求圆的方程设为圆上的任意一点定点当点在圆上运动时求线段中点的轨迹方程

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171460. （2023•长安区一中•高二上期中）已知圆C过点A（1，2）和B（1，10），且与直线x﹣2y﹣1＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设P为圆C上的任意一点，定点Q（20，﹣10），当点P在圆C上运动时，求线段PQ中点M的轨迹方程．

共享时间:2023-11-29 难度:3

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[考点]

圆的标准方程，直线与圆的位置关系，轨迹方程，

[答案]

（1）（x﹣3）²+（y﹣6）²＝20或（x+7）²+（y﹣6）²＝80；
（2）

或

．

[解析]

解：（1）圆心显然在线段AB的垂直平分线y＝6上，
设圆心为（a，6），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣a）²+（y﹣6）²＝r²，
由点B在圆上得：（1﹣a）²+（10﹣6）²＝r²，
又圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，有

．
于是

，解得

，或

，
所以圆C的标准方程为（x﹣3）²+（y﹣6）²＝20或（x+7）²+（y﹣6）²＝80．
（2）设点M坐标为（x，y），点P坐标为（x₀，y₀），
由M为PQ的中点，则

，即

，
又点P（x₀，y₀）在圆C上，
若圆的方程为（x﹣3）²+（y﹣6）²＝20，有

，
则（2x﹣20﹣3）²+（2y+10﹣6）²＝20，整理得：

，
此时点M的轨迹方程为

．
若圆的方程为（x+7）²+（y﹣6）²＝80，有

，
则（2x﹣20+7）²+（2y+10﹣6）²＝80，整理得：

，
此时点M的轨迹方程为

，
综上，点M的轨迹方程为

或

．

[点评]

本题考查了"圆的标准方程，直线与圆的位置关系，轨迹方程，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169309. （2025•铁一中学•高二上期末）已知圆C经过点A（﹣2，3）和B（0，1），且圆心C在直线x+y+1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（﹣1，3）的直线l与圆C相交于M，N两点，若

，求直线l的方程．

共享时间:2025-02-12 难度:2 相似度:1.67

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171394. （2023•西安中学•高二上期中）已知一个动点P在圆x²+y²＝36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且满足

＝

，求直线l的方程．

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:1.67

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170192. （2023•高新一中•高一下期末）已知圆C经过点E（0，6），F（4，4），且圆心在直线l：2x﹣5y+13＝0上．
（1）求圆C的方程．
（2）直线y＝kx+3与圆C交于A，B两点，问：在直线y＝3上是否存在定点N；使得k_AN+k_BN＝0（k_AN、k_BN分别为直线AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1.67

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169630. （2024•西安三中•高二上期末）已知动点P与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离的比是2．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l过点（2，1），且被曲线C截得的弦长为

，求直线l的方程．

共享时间:2024-02-04 难度:2 相似度:1.67

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171655. （2023•西电中学•高二上期中）已知圆M经过A（﹣2，3），B（﹣1，6），C（6，7）三点．
（1）求圆M的方程；
（2）求x轴被圆M截得的弦长．

共享时间:2023-11-20 难度:3 相似度:1.34

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171717. （2023•西安八十五中•高二上期中）已知圆O过三点A（1，﹣1），B（1，4），C（4，﹣2）．
（1）求圆的方程；
（2）判断圆与直线x﹣2y＝0的位置关系并证明．

共享时间:2023-11-17 难度:3 相似度:1.34

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166739. （2024•交大附中•高二上一月）设动点M到定点F（3，0）的距离与它到定直线

的距离之比为

．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）过F的直线与曲线E交右支于P、Q两点（P在x轴上方），曲线E与x轴左、右交点分别为A、B，设直线AP的斜率为k₁，直线BQ的斜率为k₂，试判断

是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．

共享时间:2024-10-26 难度:1 相似度:1.33

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171391. （2023•西安中学•高二上期中）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，加以解答
①与直线4x﹣3y+5＝0垂直；
②过点（5，﹣5）；
③与直线3x+4y+2＝0平行；
问题：已知直线l过点P（1，﹣2），且______．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆x²+y²＝5相交于点P，Q，求弦PQ的长．

共享时间:2023-11-16 难度:1 相似度:1.33

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171161. （2024•西安八十五中•高二上期中）．已知圆C过原点O和点A（1，3），圆心在x轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线l经过点（1，1），且l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．

共享时间:2024-11-25 难度:5 相似度:1.33

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171066. （2024•高新一中•高二上期中）在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点的坐标分别为

，

，直线PN，QN相交于点N，且它们的斜率之积是

．
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）若点N的轨迹与直线y＝kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为﹣1，求线段AB的长．

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:1.33

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170952. （2024•西工大附中•高二上期中）已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为

．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点

的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:1.33

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170914. （2024•滨河中学•高二上期中）已知圆O：x²+y²＝8，过点P（4，0）的直线与圆O相切，切点M在第一象限，M在x轴上的射影为点F．
（1）求F的坐标；
（2）过P且斜率不为零的另一条直线与圆O交于A，B两点，A在线段PB上，设N为线段FP的中点，直线BN交直线MF于点Q，证明：AQ与x轴平行．

共享时间:2024-11-30 难度:1 相似度:1.33

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170878. （2025•师大附中•高二下期中）已知椭圆E：

＝1（a＞b＞0）的离心率为

，且过点（2，1）．圆O：x²+y²＝2的切线l与椭圆E相交于A，B两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线OA，OB的斜率存在为k₁，k₂，直线l的斜率存在为k，若k＝k₁•k₂，求直线l的方程；
（3）直线OA，OB与圆O：x²+y²＝2的另一个交点分别为C，D，求△OAB与△OCD的面积之和的取值范围．

共享时间:2025-04-26 难度:5 相似度:1.33

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170663. （2021•长安区一中•高二上期末）已知椭圆C：

＝1和直线l：y＝2x+m．
（1）当椭圆C与直线l有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值．

共享时间:2021-02-18 难度:5 相似度:1.33

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170597. （2021•西安中学•高二上期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣

，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（﹣

，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．

共享时间:2021-02-14 难度:1 相似度:1.33

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2023-11-29

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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高二（上）期中数学试卷

更新:2023-11-29 08:04浏览量:6

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