已知函数是定义在上的奇函数且求函数的解析式用定义证明函数在上单调递增解关于的不等式

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171415. （2023•长安区一中•高一上期中）已知函数

是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明函数f（x）在（0，1）上单调递增；
（3）解关于t的不等式，

．

共享时间:2023-11-15 难度:4

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[考点]

函数解析式的求解及常用方法，由函数的单调性求解函数或参数，函数的奇偶性，奇偶性与单调性的综合，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝b＝0，
由

，可得

，解得a＝1，
所以

，经检验满足题意．
（2）取∀x₁，x₂∈（0，1），不妨设x₁＞x₂，
则

，
由0＜x₁＜x₂＜1，则x₁﹣x₂＞0，1﹣x₁x₂＞0，
所以f（x₁）﹣f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增．
（3）由f（x）是定义在（﹣1，1）的奇函数，f（x）在x∈（0，1）上单调递增，
则f（x）在x∈（﹣1，1）上单调递增，
由

，则

，
根据函数f（x）为奇函数，则

，
可得

，解得

，
故不等式解集为（﹣

，

）．

[点评]

本题考查了"函数解析式的求解及常用方法，由函数的单调性求解函数或参数，函数的奇偶性，奇偶性与单调性的综合，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171914. （2022•长安区一中•高一上期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x²e^x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若∃x∈[﹣2，2]使得f（2x﹣1）+f（x²﹣m）＞0成立，求m的取值范围．

共享时间:2022-11-19 难度:3 相似度:1.75

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171307. （2024•西安中学•高一上期中）已知函数f（x）＝

是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间[﹣1，1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求满足不等式f（t﹣1）+f（t²﹣1）＜0的实数t的取值范围．

共享时间:2024-11-16 难度:3 相似度:1.75

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169992. （2023•西工大附中•高一上期末）已知函数

是奇函数，且f（1）＝2．
（1）求a，b的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数．

共享时间:2023-02-20 难度:3 相似度:1.75

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169990. （2023•西工大附中•高一上期末）已知定义在R上的奇函数f（x），在x∈（0，1）时，

且f（﹣1）＝f（1）．
（1）求f（x）在x∈[﹣1，1]上的解析式；
（2）若x∈（0，1），常数

，解关于x的不等式

．

共享时间:2023-02-20 难度:2 相似度:1.5

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169833. （2023•西安中学•高一上期末）已知函数f（x）＝

．
（1）证明函数f（x）是R上的增函数；
（2）令g（x）＝xf（x），判定函数g（x）的奇偶性，并证明；
（3）令h（x）＝f（x）+

，求函数h（x）的值域．

共享时间:2023-02-28 难度:4 相似度:1.5

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171697. （2023•西安八十五中•高一上期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x²+2x．
（1）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；
（2）写出函数f（x）的解析式和值域．

共享时间:2023-11-22 难度:2 相似度:1.5

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171305. （2024•西安中学•高一上期中）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）＝2^x+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，并写出函数y＝f（x）的单调区间及值域．

共享时间:2024-11-16 难度:2 相似度:1.5

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167498. （2023•关山中学•高一上三月）设a∈R，函数

（a＞0）．
（1）若函数y＝f（x）是奇函数，求a的值；
（2）请判断函数y＝f（x）的单调性，并用定义证明．

共享时间:2023-01-30 难度:2 相似度:1.5

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171569. （2023•滨河中学•高一上期中）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）+f（2a﹣1）＞0，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:1 相似度:1.25

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167542. （2023•关山中学•高三上一月）已知函数

是奇函数，且

．
（Ⅰ）求实数m和n的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．

共享时间:2023-10-22 难度:1 相似度:1.25

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171825. （2022•西安中学•高一上期中）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x²+2x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式，并在图中画出f（x）在R上的图象；
（2）求不等式xf（x）＞0的解集．

共享时间:2022-11-28 难度:1 相似度:1.25

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171200. （2024•西安八十九中•高一上期中）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m²）．
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）求S的最大值，及此时长x的值．