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171264. (2024•师大附中•高二下期中) 设函数fx)=ax(2+cosx)﹣sinxf′(x)是函数fx)的导函数.
(1)求曲线yfx)在点(0,0)处的切线方程;
(2)若a=1,试判断f′(x)在区间上的零点的个数;
(3)若在x∈(0,+∞)上fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2024-05-17 难度:3
[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,
[答案]
(1)y=(3a﹣1)x
(2)0;
(3)[,+∞).
[解析]
解:(1)f′(x)=2a+acosxaxsinx﹣cosx
f(0)=0,f′(0)=3a﹣1,
故曲线yfx)在(0,0)处的切线方程为y=(3a﹣1)x
(2)若a=1,则fx)=x(2+cosx)﹣sinx,则f'(x)=2﹣xsinx
hx)=f'(x)=2﹣xsinx
h′(x)=﹣sinxxcosxh'(0)=0,且h'(﹣x)=sinx+xcosx=﹣h'(x),
故函数h′(x)为奇函数,
时,sinx>0,xcosx>0,这时h'(x)<0,
又函数h'(x)为奇函数,
∴当时,h'(x)>0,
综上,当时,f'(x)单调递增,当时,f'(x)单调递减,

f'(x)>0在上恒成立,
f'(x)在上没有零点,即零点个数为0;
(3)由cosx∈[﹣1,1]可知,2+cosx>0恒成立,
fx)>0,则恒成立,

(2+cosx2
故当时,F'(x)≥0,Fx)单调递增,又F(0)=0,
∴当x>0时,Fx)>0,符合题意,
a≤0时,有,与题设矛盾,
时,令gx)=sinx﹣3ax,则g'(x)=cosx﹣3a
又3a<1,
g'(x)=0在(0,+∞)上有无穷多个零点,
设最小的零点为x1,则当x∈(0,x1)时,g'(x)>0,因此gx)在(0,x1)上单调递增,
故当x∈(0,x1)时,gx)>g(0)=0,
故sinx>3ax
于是当x∈(0,x1)时,ax
ax<0,与已知矛盾,
a的范围为[,+∞).
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,",属于"典型题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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19752. (2021•陕西省•乙卷) 已知函数fx)=x3x2+ax+1.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)求曲线yfx)过坐标原点的切线与曲线yfx)的公共点的坐标.
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67
168150. (2023•西工大附中•六模) 已知函数fx)=(a+3)x+2lnxa∈R.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)对∀x>0,不等式fx)≤x2ex﹣1恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-05-19 难度:2 相似度:1.67
167902. (2024•西安八十九中•三模) 已知函数,函数在区间[1,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)确定θ的值,求m=3时曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数hx)=fx)﹣gx)在x∈(0,+∞)上是单调函数,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:1.67
167879. (2024•西工大附中•模拟) 已知函数fx)=2sinxax
(Ⅰ)若函数在[0,π]内点A处的切线斜率为﹣aa≠0),求点A的坐标;
(Ⅱ)①当a=1时,求gx)=fx)﹣lnx+1)在上的最小值;
②证明:
共享时间:2024-03-05 难度:2 相似度:1.67
167833. (2024•长安区一中•一模) 已知函数e=2.71828……是自然对数底数).
(1)当a=1时,讨论函数fx)的单调性;
(2)当a>1时,证明:fx)>1﹣ea
共享时间:2024-03-04 难度:2 相似度:1.67
167810. (2024•西安一中•二模) 已知函数fx)=ex﹣1﹣axa∈R).
(1)若函数fx)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2ey+1=0垂直,求a的值;
(2)当x∈(0,2]时,讨论函数Fx)=fx)﹣xlnx零点的个数.
共享时间:2024-03-29 难度:2 相似度:1.67
167740. (2024•西安一中•四模) 已知函数fx)=3lnxx2+x
(1)求fx)的单调区间;
(2)若过点(2,1)作直线与函数的图象相切,判断切线的条数.
共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.67
167717. (2024•西安一中•五模) 已知函数
(1)若曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线经过原点,求a的值;
(2)设gx)=x2﹣2x,若对任意s∈(0,2],均存在t∈(0,2],使得fs)<gt),求a的取值范围.
共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:1.67
167671. (2024•西安中学•一模) 已知函数fx)=lnxx+(x﹣2)ex
(1)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若fx)≤b对任意的恒成立,求满足条件的实数b的最小整数值.
共享时间:2024-03-11 难度:2 相似度:1.67
167522. (2023•关山中学•高三上一月) 已知函数fx)=aex+a)﹣x,(a∈R).
(1)当a=1时,求fx)的最值;
(2)讨论fx)的单调性.
共享时间:2023-10-20 难度:2 相似度:1.67
167372. (2024•长安区•高二下一月) 已知函数fx)=aexxa
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)≥0恒成立,求a的取值集合;
(3)若存在,且fx1)+x1(1﹣cosx1)=fx2)+x2(1﹣cosx2)=0,求a的取值范围.
共享时间:2024-04-22 难度:2 相似度:1.67
168013. (2023•师大附中•十模) 已知函数fx)=exxgx)=ax2+1,a∈R.
(Ⅰ)求fx)在区间[﹣2,2]上的最值.
(Ⅱ)当x>0时,恒有fx)>gx),求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:1.67
167328. (2023•长安区一中•高三上二月) 已知函数fx)=lnx+ax+1.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若不等式fx)﹣xex≤0恒成立,求a的取值范围.(参考数据:ln2≈0.7)
共享时间:2023-12-21 难度:2 相似度:1.67
167944. (2023•师大附中•三模) 已知函数
(1)设gx)=xfx),求gx)的单调区间;
(2)求证:存在恰有2个切点的曲线yfx)的切线.
共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67
167106. (2023•西安中学•高三上二月) 已知函数fx)=x2ax+1,gx)=lnx+aa∈R).
(1)若a=1,fx)>gx)在区间(0,t)上恒成立,求实数t的取值范围;
(2)若函数fx)和gx)有公切线,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:1.67

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2024-05-17

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2020*西工大*期末
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