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171264. (2024•师大附中•高二下期中) 设函数fx)=ax(2+cosx)﹣sinxf′(x)是函数fx)的导函数.
(1)求曲线yfx)在点(0,0)处的切线方程;
(2)若a=1,试判断f′(x)在区间上的零点的个数;
(3)若在x∈(0,+∞)上fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2024-05-17 难度:3
[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,
[答案]
(1)y=(3a﹣1)x
(2)0;
(3)[,+∞).
[解析]
解:(1)f′(x)=2a+acosxaxsinx﹣cosx
f(0)=0,f′(0)=3a﹣1,
故曲线yfx)在(0,0)处的切线方程为y=(3a﹣1)x
(2)若a=1,则fx)=x(2+cosx)﹣sinx,则f'(x)=2﹣xsinx
hx)=f'(x)=2﹣xsinx
h′(x)=﹣sinxxcosxh'(0)=0,且h'(﹣x)=sinx+xcosx=﹣h'(x),
故函数h′(x)为奇函数,
时,sinx>0,xcosx>0,这时h'(x)<0,
又函数h'(x)为奇函数,
∴当时,h'(x)>0,
综上,当时,f'(x)单调递增,当时,f'(x)单调递减,

f'(x)>0在上恒成立,
f'(x)在上没有零点,即零点个数为0;
(3)由cosx∈[﹣1,1]可知,2+cosx>0恒成立,
fx)>0,则恒成立,

(2+cosx2
故当时,F'(x)≥0,Fx)单调递增,又F(0)=0,
∴当x>0时,Fx)>0,符合题意,
a≤0时,有,与题设矛盾,
时,令gx)=sinx﹣3ax,则g'(x)=cosx﹣3a
又3a<1,
g'(x)=0在(0,+∞)上有无穷多个零点,
设最小的零点为x1,则当x∈(0,x1)时,g'(x)>0,因此gx)在(0,x1)上单调递增,
故当x∈(0,x1)时,gx)>g(0)=0,
故sinx>3ax
于是当x∈(0,x1)时,ax
ax<0,与已知矛盾,
a的范围为[,+∞).
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程,",属于"典型题",熟悉题型是解题的关键。
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171865. (2022•西安中学•高二上期中) 已知函数fx)=exxa﹣1).
(1)当a=0时,求曲线yfx)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)求fx)的单调性;
(3)求函数fx)在[0,1]上的最小值.
共享时间:2022-11-21 难度:3 相似度:2
170688. (2021•铁一中学•高二上期末) 已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求fx)的单调区间;
(Ⅲ)设gx)=xf′(x),其中f′(x)为fx)的导函数.证明:对任意x>0,gx)<1+e﹣2
共享时间:2021-02-27 难度:3 相似度:2
168736. (2021•西安中学•仿真) 已知函数fx)=
(1)当a=1,求函数yfx)的图象在x=0处的切线方程;
(2)若函数fx)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)已知xyz均为正实数,且x+y+z=1,求证:++≤0.
共享时间:2021-06-10 难度:3 相似度:2
19752. (2021•陕西省•乙卷) 已知函数fx)=x3x2+ax+1.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)求曲线yfx)过坐标原点的切线与曲线yfx)的公共点的坐标.
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1.67
168197. (2023•西工大附中•八模) 已知函数fx)=alnx﹣2xa≠0).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)当x>0时,不等式恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-06-11 难度:2 相似度:1.67
167902. (2024•西安八十九中•三模) 已知函数,函数在区间[1,+∞)上为增函数.
(Ⅰ)确定θ的值,求m=3时曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)设函数hx)=fx)﹣gx)在x∈(0,+∞)上是单调函数,求实数m的取值范围.
共享时间:2024-04-02 难度:2 相似度:1.67
167944. (2023•师大附中•三模) 已知函数
(1)设gx)=xfx),求gx)的单调区间;
(2)求证:存在恰有2个切点的曲线yfx)的切线.
共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:1.67
170684. (2021•铁一中学•高二上期末) 设函数fx)=x+ax2+blnx,曲线yfx)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
(Ⅰ)求ab的值;
(Ⅱ)证明:fx)≤2x﹣2.
共享时间:2021-02-27 难度:2 相似度:1.67
168013. (2023•师大附中•十模) 已知函数fx)=exxgx)=ax2+1,a∈R.
(Ⅰ)求fx)在区间[﹣2,2]上的最值.
(Ⅱ)当x>0时,恒有fx)>gx),求实数a的取值范围.
共享时间:2023-07-02 难度:2 相似度:1.67
169213. (2025•师大附中•高二上期末) 已知函数fx)=﹣1.
(Ⅰ)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅲ)已知函数gx)=3x3+2ax2+1,若∀x1x2∈[1,e],不等式fx1)≤gx2)恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1.67
170598. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=axexa∈R),
(Ⅰ)求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)∃x0∈(0,+∞),使不等式fx)≤gx)﹣ex成立,求a的取值范围.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:1.67
170595. (2021•西安中学•高二上期末) 已知函数fx)=ax+b,在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y﹣10=0,求
(1)实数ab的值;
(2)函数fx)的单调区间以及在区间[0,3]上的最值.
共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:1.67
170574. (2021•西安中学•高二上期末) 函数
(1)求曲线yfx)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求fx)在区间上的最大值.
共享时间:2021-02-20 难度:2 相似度:1.67
168150. (2023•西工大附中•六模) 已知函数fx)=(a+3)x+2lnxa∈R.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)对∀x>0,不等式fx)≤x2ex﹣1恒成立,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-05-19 难度:2 相似度:1.67
169481. (2024•西工大附中•高二上期末) 已知函数fx)=lnx+x2
(1)求曲线yfx)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数hx)=fx)﹣3x的单调区间.
共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1.67

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2024-05-17

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2020*西工大*期末
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