已知函数的定义域为若存在常数使得对内的任意都有则称是利普希兹条件函数判断函数是否为利普希兹条件函数并说明理由若函数是利普希兹条件函数求的最小值设若是利普希兹条件函数且的零点也是的零点

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171144. （2025•西安八十五中•高二下期中）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|，则称f（x）是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）判断函数y＝2x+1，y＝x²是否为“2﹣利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数

是“k﹣利普希兹条件函数”，求k的最小值；
（3）设f（x）＝sinx，若g（x）＝tx+n（t＞1）是“2025﹣利普希兹条件函数”，且g（x）的零点x₀也是f（x）的零点，g（f（x₀））＝f（g（x₀）），求证：方程f（g（x））＝g（f（x））在区间（0，2π）上有解．

共享时间:2025-05-29 难度:1

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[考点]

函数与方程的综合运用，

[答案]

（1）函数y＝2x+1是“2﹣利普希兹条件函数”；函数y＝x²不是“2﹣利普希兹条件函数”；
（2）2；
（3）证明见解析．

[解析]

解：（1）y＝2x+1是，函数y＝x²不是，理由如下：
由题知，函数y＝2x+1，定义域为R，
所以|f（x₁）﹣f（x₂）|﹣2|x₁﹣x₂|＝|2x₁﹣2x₂|﹣2|x₁﹣x₂|＝0，
所以函数y＝2x+1是“2﹣利普希兹条件函数”；
对于函数y＝x²，
因为

，
当|x₁+x₂|＞2时，则|f（x₁）﹣f（x₂）|﹣2|x₁﹣x₂|＞0，
所以函数y＝x²不是“2﹣利普希兹条件函数”；
（2）因为函数

是“k﹣利普希兹条件函数”，
则对于定义域[1，+∞）上任意两个x₁，x₂（x₁≠x₂），均有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|成立，
不妨设x₁＞x₂，
则

恒成立，
因为1≤x₂＜x₁，所以x₁x₂＞1，
得

，
所以k的最小值为2；
（3）证明：因为函数g（x）＝tx+n（t＞1）是“2025﹣利普希兹条件函数”，
所以|g（x₁）﹣g（x₂）|≤2025|x₁﹣x₂|在R上恒成立，
即t|x₁﹣x₂|≤2025|x₁﹣x₂|在R上恒成立，
由|x₁﹣x₂|＞0，得1＜t≤2025，
因为x₀是函数g（x）的零点，
则

，
又x₀是函数f（x）的零点，
则f（x₀）＝0，
又f（g（x₀））＝g（f（x₀）），
所以f（0）＝g（0），
而f（0）＝sin0＝0，g（0）＝n，
故n＝0＝g（x）＝tx，
设h（x）＝f（g（x））﹣g（f（x））＝sin（tx）﹣tsinx，1＜t≤2024，
由

，

＝

，
得

，
由零点的存在性定理知函数h（x）在

上有零点，
即方程f（g（x））＝g（f（x））在（0，2π）上有解．

[点评]

本题考查了"函数与方程的综合运用，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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（2）求F₆（n）关于n的表达式；
（3）记[x]表示不超过x的最大整数，若

，探究[S_n]是否为定值，若是，求其值；若不是，请说明理由．

共享时间:2024-12-25 难度:1 相似度:2

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是由“基函数f（x）＝2x﹣

+a和g（x）＝

﹣2”生成的，求a的值；
（2）试利用“基函数f（x）＝log₂（4^x+1）和g（x）＝

x+1”生成一个函数h（x），满足h（x）为偶函数，且h（0）＝﹣1．
①求函数h（x）的解析式；
②已知n≥3，n∈N^*，x₀＝﹣1，x_n＝1，对于（﹣1，1）上的任意值x₁，x₂，…，x_n_﹣1（x₁＜x₂＜…＜x_n_﹣1），记M＝

，求实数M的最大值．（注：

．）

共享时间:2025-02-09 难度:1 相似度:2

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①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．
（1）求证：[0，2]是函数

的一个“优美区间”．
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不存在“优美区间”．
（3）已知函数

（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

共享时间:2023-02-03 难度:1 相似度:2

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170015. （2023•西工大附中•高三上期末）．已知函数f（x）＝|x﹣k|+|x+2|（k∈R），g（x）＝|2x+m|（m∈Z）．
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共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:2

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