对于定义域为的函数如果存在区间同时满足在内是单调函数当定义域是时的值域也是则称是该函数的优美区间求证是函数的一个优美区间求证函数不存在优美区间已知函数有优美区间当变化时求出的最大值

首页 > 试题列表 > 单题解析

169900. （2023•长安区一中•高一上期末）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足；
①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．
（1）求证：[0，2]是函数

的一个“优美区间”．
（2）求证：函数

不存在“优美区间”．
（3）已知函数

（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

共享时间:2023-02-03 难度:1

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

函数与方程的综合运用，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）∵

在区间[0，2]上单调增．
又∵f（0）＝0，f（2）＝2，∴值域为[0，2]，
∴区间[0，2]是f（x）＝x²的一个“优美区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
∴函数

在[m，n]上单调递减．
若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则

，
由（1）﹣（2）得：

，∴

，
∵n＞m，∴mn＝6，∴

．
代入（1）等式不成立，∴函数

不存在优美区间．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
∴函数

在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“优美区间”，则

，
∴m、n是方程

，即a²x²﹣（a²+a）x+1＝0的两个同号且不等的实数根．
∵

，
∴m，n同号，只须Δ＝a²（a+3）（a﹣1）＞0，
即a＞1或a＜﹣3，
∵

＝

，
∴当a＝3时，n﹣m取最大值

．

[点评]

本题考查了"函数与方程的综合运用，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166607. （2024•华清中学•高二上二月）．在不大于kⁿ（k，n∈N^*，k≥2）的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为F_k（n）．
（1）求F₂（4），F₃（3）的值；
（2）求F₆（n）关于n的表达式；
（3）记[x]表示不超过x的最大整数，若

，探究[S_n]是否为定值，若是，求其值；若不是，请说明理由．

共享时间:2024-12-25 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

169294. （2025•铁一中学•高一上期末）对于两个定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n，使h（x）＝mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x）和g（x）”生成的．
（1）若h（x）＝9x+

是由“基函数f（x）＝2x﹣

+a和g（x）＝

﹣2”生成的，求a的值；
（2）试利用“基函数f（x）＝log₂（4^x+1）和g（x）＝

x+1”生成一个函数h（x），满足h（x）为偶函数，且h（0）＝﹣1．
①求函数h（x）的解析式；
②已知n≥3，n∈N^*，x₀＝﹣1，x_n＝1，对于（﹣1，1）上的任意值x₁，x₂，…，x_n_﹣1（x₁＜x₂＜…＜x_n_﹣1），记M＝

，求实数M的最大值．（注：

．）

共享时间:2025-02-09 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

170015. （2023•西工大附中•高三上期末）．已知函数f（x）＝|x﹣k|+|x+2|（k∈R），g（x）＝|2x+m|（m∈Z）．
（1）若关于x的不等式g（x）≤1的整数解有且仅有一个值﹣4，当k＝2时，求不等式f（x）≤m的解集；
（2）若h（x）＝x²﹣2x+3，若∀x₁∈R，∃x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）≥h（x₂）成立，求实数k的取值范围．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

171144. （2025•西安八十五中•高二下期中）已知函数f（x）的定义域为D，若存在常数k（k＞0），使得对D内的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤k|x₁﹣x₂|，则称f（x）是“k﹣利普希兹条件函数”．
（1）判断函数y＝2x+1，y＝x²是否为“2﹣利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数