如图在正方体中分别是棱的中点求证平面平面

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170728. （2020•西安中学•高一上期末）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是棱AB，A₁D₁，AD的中点，求证：
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）MN⊥AC．

共享时间:2020-02-05 难度:2

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[考点]

空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别是棱AB，A₁D₁，AD的中点，
∴MP∥BD，NP∥DD₁，
∴平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD₁，又DD₁⊥底面ABCD，
∴NP⊥底面ABCD，
∴MN在底面ABCD的射影为MP，
∵M，N是AB，A₁D₁的中点，
∴MP∥BD，又BD⊥AC，
∴MP⊥AC，
∴MN⊥AC．

[点评]

本题考查了"空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172050. （2023•铁一中学•高一下期中）如图：已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D为BC边上一点，D₁为B₁C₁中点，且A₁B∥面ADC₁．证明：平面A₁BD₁∥平面ADC₁．

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:1.5

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168366. （2022•长安区一中•三模）如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB＝2BC＝

＝4，E为棱BB₁的中点，F为棱AB上的点．
（1）证明：CE⊥C₁F；
（2）当C₁F与平面ABC所成的角为

时，求三棱锥A﹣CEF的体积．

共享时间:2022-04-05 难度:2 相似度:1

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232376. （2023•铁一中学•高二上二月）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

共享时间:2023-12-18 难度:2 相似度:1

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236929. （2016•长安区一中•高二下期末）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁与侧面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁＝∠CC₁B₁＝60°，AC＝2．
（1）求证：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁＝

，求四棱锥A﹣BB₁C₁C的体积．

共享时间:2016-07-22 难度:2 相似度:1

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236554. （2017•高新一中•高二下期末）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥BE．
（2）求二面角C﹣AE﹣B的余弦值．

共享时间:2017-07-18 难度:2 相似度:1

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233583. （2023•西安工业大学附中•高一下二月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，AC交BD于点O，点E为PB的中点，且PA＝PC，PB＝PD．
（1）求证：PO⊥AB；
（2）若PO＝2，求三棱锥A﹣BCE的体积．

共享时间:2023-06-14 难度:2 相似度:1

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233561. （2023•交大附中•高一下一月）如图，在正方形ABD﹣A₁B₁C₁D₁，O为底面ABCD的中心，P是DD₁的中点，设Q是CC₁上的中点．求证：
（1）PO∥面D₁BQ；
（2）平面D₁BQ∥平面PAO．

共享时间:2023-04-30 难度:2 相似度:1

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233210. （2023•长安区一中•高一下二月）如图①，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，

，∠BAD＝60°．将△BCD沿着BD折叠，使得点C到达点C'的位置，且二面角A﹣BD﹣C'为直二面角，如图②．已知P，G，F分别是AC'，AD，AB的中点，E是棱AB上的点，且C'E与平面ABD所成角的正切值为

．

（1）证明：平面PGF∥平面C'DB；
（2）求四棱锥P﹣GFED的体积．

共享时间:2023-06-23 难度:2 相似度:1

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232399. （2024•铁一中学•高二下一月）已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？