在四棱锥中底面证明求与平面所成的角的正弦值

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166430. （2024•西光中学•高二上一月）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝

．
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

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[考点]

直线与平面垂直，直线与平面所成的角，

[校正]

[答案]

（1）证明过程见解答；（2）

．

[解析]

解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，
∴PD⊥BD，
取AB中点E，连接DE，
∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
∴∠DAB＝60°，又∵AE＝

AB＝AD＝1，
∴DE＝1，∴DE＝

，
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，
∴BD⊥AD，
又PD∩AD＝D，PD⊂面PAD，AD⊂面PAD，
∴BD⊥面PAD，
又PA⊂面PAD，
∴BD⊥PA；
（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，

，
则

，
∴

，
设平面PAB的一个法向量为

，则

，则可取

，
设PD与平面PAB所成的角为θ，则

，
∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，直线与平面所成的角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166958. （2023•师大附中•高二上一月）如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，O，M，N分别为线段BC，AA₁，BB₁的中点，P为线段AC₁上的动点，AA₁＝16，AC＝8．
（1）若

，试证：C₁N⊥CM；
（2）在（1）的条件下，当AB＝6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB₁C₁C所成角的正弦值最大．

共享时间:2023-10-18 难度:2 相似度:2

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231217. （2016•西工大附中•十模）在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB＝2，AA₁＝2

，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥平面ABB₁A₁．
（1）证明：CD⊥AB₁；
（2）若OC＝OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

共享时间:2016-06-20 难度:2 相似度:2

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167237. （2023•周至六中•高二上一月）已知四棱锥P﹣ABCD（如图），四边形ABCD为正方形，面PAB⊥面ABCD，PA＝PB＝AB＝2，M为AD中点．
（1）求证：PC⊥BM；
（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:2

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260230. （2020•陕西省•真题）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA₁∥MN，且B₁C₁⊥平面A₁AMN；
（2）设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥面EB₁C₁F，且AO＝AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值．

共享时间:2020-06-15 难度:2 相似度:2

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168711. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:2

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168734. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:2

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263416. （2018•陕西省•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

共享时间:2018-06-13 难度:2 相似度:2

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169525. （2024•铁一中学•高三上期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A₁A＝A₁C＝AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:2

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168456. （2021•西安中学•七模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:2

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167785. （2024•西安一中•三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，M为AC的中点，MB₁⊥AB．
（1）证明：MC₁⊥AB．
（2）若

，求直线B₁C与平面MB₁C₁所成角的正弦值．

共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:2

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170081. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，

，AD∥BC，AB＝AC，∠BAD＝150°，∠PDA＝30°．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于

？

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:2

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171656. （2023•西电中学•高二上期中）已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝PA＝4，BC＝CD＝2，PB＝2

，PD＝2

．
（1）求证：AD⊥BP；
（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:2

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230704. （2022•长安区•二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，F为AB的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求直线DB与平面PDF所成角的正弦值．

共享时间:2022-03-16 难度:2 相似度:2

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232310. （2023•铁一中学•高三上一月）如图，已知多面体ABC﹣A₁B₁C₁，A₁A，B₁B，C₁C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A₁A＝4，C₁C＝1，AB＝BC＝B₁B＝2．
（Ⅰ）证明：AB₁⊥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面ABB₁所成的角的正弦值．

共享时间:2023-10-13 难度:2 相似度:2

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166681. （2024•高新一中•高二上二月）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝AC＝2，AD＝DF＝FC＝1，N为DF的中点，二面角D﹣AC﹣B的大小为θ．
（1）证明：AC⊥BN；
（2）当θ为何值时，直线AD与平面BEFC所成角的正弦值为

？

共享时间:2024-12-27 难度:2 相似度:2

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2024-10-12

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