如图在棱长为的正方体中均为所在棱的中点动点在正方体表面运动则下列结论中不正确的有当点为中点时平面平面异面直线所成角的余弦值为点在同一个球面上若则点轨迹长度为

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169519. （2024•铁一中学•高三上期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中不正确的有（　　）
①当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMN
②异面直线EF、GN所成角的余弦值为

③点E、F、G、M、N在同一个球面上
④若

，则P点轨迹长度为

A.0

B.1

C.．2

D.3

共享时间:2024-02-27 难度:4

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[考点]

命题的真假判断与应用，棱柱的结构特征，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，

[答案]

[解析]

解：对于①，取AD中点Q，连接PQ，FQ，
在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，
动点P在正方体表面运动，
∴GM⊥PQ，∵FQ∥DD₁，∴FQ⊥平面ABCD，GM在面ABCD内，
∴GM⊥FQ，FQ⊂平面PQF，PQ⊂平面PQF，PQ∩FQ＝Q，
∴GM⊥平面PQF，PF⊂面PQF，∴GM⊥PF，

连接BA₁，ABB₁A₁是正方形，GN⊥A₁B，
∵FA₁⊥平面ABA₁B₁，∵GN⊂平面ABA₁B₁，∴GN⊥A₁F，
∵A₁B∩FA₁＝A₁，∴GN⊥平面PFA₁B，∵PF⊂平面PFA₁G，∴GN⊥PF，
∵GM∩GN＝G，∴PF⊥平面GMN，
∵PF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面GMN，故①正确；
对于②，取A₁B₁中点T，连接ET，FT，则ET∥GN，
∴∠TEF是异面直线EF，GN所成角，
∵EF＝FT＝ET＝

，∴

，cos

，故②错误；
对于③，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中心为点O，则|OE|＝|OF|＝|OG|＝|OM|＝|ON|＝

，
∴点E，F，G，M，N在以O为球心，以

为半径的球面上，故③正确；
对于④，∵

，E是A₁A的中点，
∴

＝2t

，∴

，
∴P点轨迹是过点M与B₁E平行的线段MP′，且|CP′|＝

，
∴则P点轨迹长度为|MP′|＝

，故④正确．
故选：B．

[点评]

本题考查了"命题的真假判断与应用，棱柱的结构特征，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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A.．AA₁⊥平面ABC

B.异面直线B₁C与AA₁所成角的大小是

C.球O的表面积是20π

D.．点O到平面AB₁C的距离是

共享时间:2024-10-13 难度:4 相似度:2

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①异面直线AC与MN所成的角为定值；
②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；
③三棱锥N﹣ACM与B﹣ACD体积之比值为定值；
④四面体ABCD的外接球体积为