如图在棱长为的正方体中均为所在棱的中点动点在正方体表面运动则下列结论中不正确的有当点为中点时平面平面异面直线所成角的余弦值为点在同一个球面上若则点轨迹长度为

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169519. （2024•铁一中学•高三上期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中不正确的有（　　）
①当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMN
②异面直线EF、GN所成角的余弦值为

③点E、F、G、M、N在同一个球面上
④若

，则P点轨迹长度为

A.0

B.1

C.．2

D.3

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[考点]

命题的真假判断与应用，棱柱的结构特征，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，

[答案]

[解析]

解：对于①，取AD中点Q，连接PQ，FQ，
在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，
动点P在正方体表面运动，
∴GM⊥PQ，∵FQ∥DD₁，∴FQ⊥平面ABCD，GM在面ABCD内，
∴GM⊥FQ，FQ⊂平面PQF，PQ⊂平面PQF，PQ∩FQ＝Q，
∴GM⊥平面PQF，PF⊂面PQF，∴GM⊥PF，

连接BA₁，ABB₁A₁是正方形，GN⊥A₁B，
∵FA₁⊥平面ABA₁B₁，∵GN⊂平面ABA₁B₁，∴GN⊥A₁F，
∵A₁B∩FA₁＝A₁，∴GN⊥平面PFA₁B，∵PF⊂平面PFA₁G，∴GN⊥PF，
∵GM∩GN＝G，∴PF⊥平面GMN，
∵PF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面GMN，故①正确；
对于②，取A₁B₁中点T，连接ET，FT，则ET∥GN，
∴∠TEF是异面直线EF，GN所成角，
∵EF＝FT＝ET＝

，∴

，cos

，故②错误；
对于③，设正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中心为点O，则|OE|＝|OF|＝|OG|＝|OM|＝|ON|＝

，
∴点E，F，G，M，N在以O为球心，以

为半径的球面上，故③正确；
对于④，∵

，E是A₁A的中点，
∴

＝2t

，∴

，
∴P点轨迹是过点M与B₁E平行的线段MP′，且|CP′|＝

，
∴则P点轨迹长度为|MP′|＝

，故④正确．
故选：B．

[点评]

本题考查了"命题的真假判断与应用，棱柱的结构特征，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166849. （2024•西安八十五中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，

，△ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有（　　）

A.．AA₁⊥平面ABC

B.异面直线B₁C与AA₁所成角的大小是

C.球O的表面积是20π

D.．点O到平面AB₁C的距离是

共享时间:2024-10-13 难度:4 相似度:2

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171975. （2023•唐南中学•高一下期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AA₁＝AB＝2．下列说法正确的是（　　）

A.四棱锥B﹣A₁ACC₁为“阳马”

B.四面体A₁C₁CB为“鳖臑”

C.M为线段A₁C上的动点，则AM与BC所成角的大小恒为90°

D.过A点分别作AE⊥A₁B于点E，AF⊥A₁C于点F，则EF⊥A₁B

共享时间:2023-05-27 难度:4 相似度:1.5

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167120. （2023•西安中学•高二上一月）在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别是棱BC，CC₁的中点，点M满足

，t∈[0，1]，下列结论正确的是（　　）

A.．若t＝1，则A₁B₁∥平面MPQ

B.．若t＝1，则过点M，P，Q的截面面积是

C.若，则点A₁到平面MPQ的距离是

D.．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为

共享时间:2023-10-30 难度:4 相似度:1.5

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171386. （2023•西安中学•高二上期中）如图，在菱形ABCD中，

，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为

，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（　　）

A.当AQ＝QC，4PD＝DB时，点D到直线PQ的距离为

B.线段PQ的最小值为

C.平面ABD⊥平面BCD

D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为

共享时间:2023-11-16 难度:4 相似度:1.5

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167294. （2023•长安区一中•高三上四月）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，现有以下结论：
①异面直线AC与MN所成的角为定值；
②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；
③三棱锥N﹣ACM与B﹣ACD体积之比值为定值；
④四面体ABCD的外接球体积为

．
其中说法正确的是（　　）

A.①②③

B.①③④

C.①②④

D.．①④

共享时间:2023-02-23 难度:2 相似度:1.5

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170882. （2024•师大附中•高二上期中）如图，平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，其中AB＝2，AD＝4，AA₁＝3，且∠A₁AD＝∠A₁AB＝60°，则线段AC₁的长为（　　）

A.．9

B.．

C.．

D.．

共享时间:2024-11-18 难度:2 相似度:1.5

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170161. （2023•铁一中学•高二上期末）棱长为1的正方体A₁B₁C₁D₁﹣ABCD中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A₁D₁上一点，且

，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，下列命题中正确的是（　　）

A.三棱锥A﹣DMN的体积与λ的取值无关

B.．当时，点Q到直线AC的距离是

C.当时，

D.当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为

共享时间:2023-02-15 难度:5 相似度:1.35

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169179. （2020•交大附中•三模）给出如下四个命题：
①若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；
③若a，b是实数，则“a＞2”是“a²＞4”的必要不充分条件；
④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．
其中正确命题的个数是（　　）

A.．4

B.．3

C.．2

D.．1

共享时间:2020-04-15 难度:1 相似度:1.25

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168558. （2021•西安中学•九模）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题正确的是（　　）
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．

A.．②④

B.①②

C.．③④

D.．①③

共享时间:2021-06-30 难度:1 相似度:1.25

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168497. （2021•西安中学•三模）如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）．将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（　　）

①AC∥平面BEF；
②B、C、E、F四点不可能共面；
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；
④平面BCE与平面BEF可能垂直．

A.0

B.．1

C.2

D.．3

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168474. （2021•西安中学•三模）如图，已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点，F为棱AA₁上的点，且满足A₁F：FA＝1：2，点F，B，E，G，H为过B，E，F三点的面BMN与正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱的交点，则下列说法错误的是（　　）

A.HF∥BE

B.三棱锥的体积 V＝4

C.．直线MN与面A₁B₁BA的夹角是45°

D.．D₁G：GC₁＝1：3

共享时间:2021-04-14 难度:1 相似度:1.25

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168447. （2021•西安中学•七模）设有下列四个命题：
p₁：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p₂：若直线l⊂平面a，直线m⊥平面a，则m⊥l．
p₃：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p₄：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
则下述命题中为假命题的是（　　）

A.p₁∧p₂

B.￢p₄∨￢p₂

C.．￢p₃∨p₄

D.．p₁∧p₄

共享时间:2021-06-02 难度:1 相似度:1.25

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168241. （2021•西安中学•五模）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（　　）

A.30°

B.．45°

C.．60°

D.．90°

共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:1.25

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168243. （2021•西安中学•五模）函数

的部分图象如图所示，给下列说法：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②直线

为函数f（x）的一条对称轴；
③点

为函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）的图象向右平移

个单位后得到

的图象．
其中不正确说法的个数是（　　）

A.1

B.．2

C.．3

D.．4

共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:1.25

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168773. （2021•西安中学•八模）已知函数f（x）＝ax³+bx²+cx+d（a≠0），f′（x）＝g（x），给出下列四个结论，分别是：①a＞0；②f（x）在R上单调；③f（x）有唯一零点；④存在x₀，使得g（x₀）＜0．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（　　）

A.①

B.②

C.．③

D.④

共享时间:2021-06-19 难度:1 相似度:1.25

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dygzsxyn

2024-02-27

高中数学 | 高三上 | 选择题

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2023-2024学年陕西省西安市铁一中学高三（上）期末数学试卷（理科）

更新:2024-02-27 08:37浏览量:6

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