若函数有且仅有一个极值点则

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169364. （2024•师大附中•高二上期末）若函数

有且仅有一个极值点，则（　　）

A.b²+8ac＞0

B.．ab＞0

C.bc＞0

D.．ac＞0

共享时间:2024-02-14 难度:1

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[考点]

利用导数研究函数的极值，

[答案]

[解析]

解：由

的定义域为（0，+∞），
得

，
f（x）有且仅有一个极值点，即f′（x）在（0，+∞）上有且仅有一个变号零点，
由f′（x）＝0，可得ax²﹣bx﹣2c＝0，其中a≠0，
若根的判别式Δ＝b²+8ac＝0时，方程有两个等根，
由二次函数的图象性质知，此时得到的是f′（x）的不变号零点，不是原函数的极值点，故舍去；
当Δ＝b²+8ac＞0时，方程有两根，要使f′（x）在（0，+∞）上有且仅有一个变号零点，
须使这两根异号，即

，则ac＞0．
此时设正根为x₀，在正根x₀的左右各取x₁，x₂，使0＜x₁＜x₀＜x₂，
由二次函数的图象性质知，必有f（x₁）•f（x₂）＜0
则x₀即函数f（x）仅有的一个极值点，故A，D项正确；
因这异号两根的绝对值大小不能确定，故

不能定号，B项不能确定，从而C项也不能确定；
当Δ＝b²+8ac＜0时，f′（x）恒正或恒负，此时函数f（x）无极值点，故舍去．
故选：AD．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的极值，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2025-02-11 难度:1 相似度:2

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共享时间:2024-07-27 难度:2 相似度:1.5

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dygzsxyn

2024-02-14

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更新:2024-02-14 08:16浏览量:6

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