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168036. (2023•西安中学•七模) 设函数fx)=(xa2x+bexab∈R.
(1)若b=0,当x≥0时,fx)单调递增,求a的取值范围;
(2)若x=0是fx)的一个极大值点.
i)当a=0,求b的取值范围;
ii)当a是给定的实常数,设x1x2x3fx)的3个极值点,问是否存在实数b,可找到x4∈R,使得x1x2x3x4的某种排列(其中{i1i2i3i4}={1,2,3,4}依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4;若不存在,说明理由.
共享时间:2023-06-04 难度:2
[考点]
利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,
[答案]
(1)(﹣∞,0].
(2)(ib<0;(ii)当b=﹣a﹣3时,
时,
时,
[解析]
解:(1)若b=0,fx)=xxa2ex,则f'(x)=exxa)[x2+(3﹣axa],
由题意,当x≥0时f'(x)≥0恒成立;
hx)=x2+(3﹣axa,而Δ=(a﹣1)2+8>0,
x1x2hx)的两个根,则x1+x2a﹣3,x1x2=﹣a
a=0,则fx)=x3ex,当x≥0时f'(x)=exx2x+3)≥0,符合题意;
a≠0,则f'(x)=0有三个根,x1x2a
xmax{x1x2a}时f'(x)≥0,所以max{x1x2a}≤0,
因为f'(0)=a2>0,故,只需,解得a<0.
综上,a≤0,即a的取值范围是(﹣∞,0].
(2)(ia=0时,fx)=x2x+bex,则f'(x)=exx[x2+(b+3)x+2b],
gx)=x2+(b+3)x+2b,且Δ=(b+3)2﹣8b=(b﹣1)2+8>0,
x1x2gx)=0的两个根,
x1=0或x2=0时,则x=0不是极值点,不合题意;
x1≠0且x2≠0时,由于x=0是fx)的极大值点,故x1<0<x2
所以g(0)<0,即2b<0,故b<0.
iif'(x)=exxa)[x2+(3﹣a+bx+2baba],
gx)=x2+(3﹣a+bx+2baba,则Δ=(3﹣a+b2﹣4(2baba)=(a+b﹣1)2+8>0,
假设x1x2gx)=0的两个实根(x1x2).
由(i)知,必有x1ax2,且x1ax2fx)的三个极值点,

假设存在bx4满足题意,
x1ax2等差,即x2aax1时,则x4=2x2ax4=2x1a
于是2ax1+x2ab﹣3,即b=﹣a﹣3.
此时

x2aax1,则x2a=2(ax1)或(ax1)=2(x2a),
x2a=2(ax1),则,于是
,两边平方得(a+b﹣1)2+9(a+b﹣1)+17=0,
因为a+b+3<0,于是,此时
此时
若(ax1)=2(x2a),则,于是
,两边平方得(a+b﹣1)2+9(a+b﹣1)+17=0,
因为a+b+3>0,于是,此时
此时
综上,存在b满足题意,当b=﹣a﹣3时,
时,
时,
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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167281. (2023•长安区一中•高三上五月) 已知函数
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)存在两个极值点x1x2,证明:
共享时间:2023-12-29 难度:2 相似度:2
170394. (2022•长安区一中•高二下期末) 已知函数fx)=ax+cosx(0≤x≤π,a∈R).
(1)当时,求fx)的单调递增区间;
(2)若函数fx)恰有两个极值点,记极大值和极小值分别为Mm,求证:
共享时间:2022-07-21 难度:2 相似度:2
167648. (2024•西安中学•一模) 已知函数fx)=exx
(1)求函数fx)的极值;
(2)若对任意x>0,有解,求a的取值范围.
共享时间:2024-03-07 难度:2 相似度:2
168322. (2021•西安中学•十模) 已知函数fx)=xlnxa∈R)有两个极值点x1x2x1x2).
(1)求实数a的取值范围,并求fx)的单调区间;
(2)证明:fx2)>ln2.
共享时间:2021-07-10 难度:2 相似度:2
167475. (2023•关山中学•高一上一月) 已知函数fx)=x2+ax﹣2lnxa∈R).
(1)当a=0时,求函数fx)的极值;
(2)若函数fx)在区间[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
共享时间:2023-10-11 难度:2 相似度:2
168689. (2021•西安中学•仿真) 已知函数fx)=xsinx+cosx+
(1)当a=0时,求fx)在[﹣π,π]上的单调区间;
(2)当a>0时,讨论fx)在[0,π]上的零点个数.
共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:2
167990. (2023•师大附中•十一模) 已知函数
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)存在两个极值点x1x2,证明:
共享时间:2023-07-16 难度:2 相似度:2
170662. (2021•长安区一中•高二上期末) 已知函数fx)=x3﹣3ax2+xa∈R)在x=1处有极值.
(1)求a的值;
(2)求函数fx)的单调区间.
共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:2
169552. (2024•铁一中学•高二上期末) 已知函数fx)=(x2+mx+nex
(1)若mn=0,求fx)的单调区间;
(2)若ma+bnab,且fx)有两个极值点,分别为x1x2x1x2),求的最大值.
共享时间:2024-02-22 难度:2 相似度:2
168874. (2021•西工大附中•十模) 已知函数fx)=2lnxaxa∈R.
(Ⅰ)讨论fx)的单调性;
(Ⅱ)当a=﹣1时,令gx)=x2fx),其导函数为g'(x),设x1x2是函数gx)的两个零点,判断是否为g'(x)的零点?并说明理由.
共享时间:2021-07-03 难度:2 相似度:2
170371. (2022•长安区一中•高二下期末) 已知函数fx)=alnx
(Ⅰ)讨论函数gx)=x﹣1﹣fx)的单调性与极值;
(Ⅱ)证明:当a=1且x∈[1,+∞)时,不等式(x+1)fx)≥2(x﹣1)恒成立.
共享时间:2022-07-05 难度:3 相似度:1.67
172420. (2022•西安中学•高二下期中) 已知函数fx)=有极小值﹣6.
(1)求fx)的单调区间;
(2)求m的值;
(3)求fx)在[﹣3,4]上的最大值和最小值.
共享时间:2022-05-17 难度:3 相似度:1.67
170576. (2021•西安中学•高二上期末) 已知fx)=axlnxx∈(0,e],gx)=,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=1时,函数fx)的单调性和极值;
(2)求证:在(1)的条件下,fx)>gx)+
(3)是否存在实数a使fx)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
共享时间:2021-02-20 难度:3 相似度:1.67
170665. (2021•长安区一中•高二上期末) 已知函数fx)=alnx+2x2﹣4xa∈R).
(1)若x=2是fx)的极值点,求fx)的单调区间;
(2)求gx)=fx)﹣ax在区间[1,e]上的最小值ha).
共享时间:2021-02-18 难度:3 相似度:1.67
168759. (2021•西安中学•八模) 已知函数gx)是fx)的导函数.
(1)若gx)在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
(2)设Fx)=gx)﹣fx),证明:当时,Fx)有且仅有两个零点.
共享时间:2021-06-14 难度:1 相似度:1.5

dygzsxyn

2023-06-04

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2020*西工大*期末
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