已知函数求的定义域并证明的图象关于点对称若关于的方程有解求实数的取值范围

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167018. （2023•西安中学•高一上二月）已知函数

．
（1）求f（x）的定义域，并证明f（x）的图象关于点（2，0）对称；
（2）若关于x的方程f（x）＝g（x）有解，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-12-19 难度:1

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[考点]

对数函数的图象，

[答案]

（1）（0，4），证明见解析．

（2）（﹣4，+∞）．

[解析]

解：（1）由题设可得

，解得0＜x＜4，故f（x）的定义域为（0，4），
而

，
故f（x）的图象关于点（2，0）对称．
（2）法一：因为关于x的方程f（x）＝g（x）即

有解，
故

在x∈（0，4）上有解．
下面求

在x∈（0，4）上有解时实数a的取值范围．
因为

与y＝﹣x在区间（0，4）上都是减函数，
所以函数

在区间（0，4）上也是减函数，
所以0＜x＜4时，

的取值范围是（﹣3，+∞）．
令a+1＞﹣3，解得a＞﹣4．
因此，所求实数a的取值范围是（﹣4，+∞）．
法二：f（x）＝g（x），即

，
因为f（x）＝g（x）有解，故

在（0，4）上有解，
整理得到x²+（a+1）x﹣4＝0在（0，4）上有解，
设h（x）＝x²+（a+1）x﹣4，显然h（0）＝﹣4＜0，则

或

解得a＞﹣4．
故实数a的取值范围为（﹣4，+∞）．

[点评]

本题考查了"对数函数的图象，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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170214. （2023•高新一中•高一上期末）设函数f（x）＝log₂（2x）•log₂

．
（1）解方程f（x）+6＝0；
（2）设不等式

≤4^3x﹣2的解集为M，求函数f（x）（x∈M）的值域．

共享时间:2023-02-12 难度:1 相似度:2

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2023-12-19

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更新:2023-12-19 12:38浏览量:16