如图一个湖的边界是圆心为的圆湖的一侧有一条直线型公路湖上有桥是圆的直径规划在公路上选两个点并修建两段直线型道路规划要求线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径已知点到直线的距离分别为和为垂足测得单位百米若道路与桥垂直求道路的长在规划要求下和中能否有一个点选在处并说明理由在规划要求下若道路和的长度均为单位百米求

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166526. （2024•城关中学•高二上二月）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．

共享时间:2024-12-24 难度:1

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[考点]

直线和圆的方程的应用，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：设BD与圆O交于M，连接AM，
AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，
即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，
以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）
（1）设点P（x₁，0），PB⊥AB，
则k_BP•k_AB＝﹣1，
即

•

＝﹣1，
解得x₁＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝

＝15；
（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x₂，0），
则k_QA•k_AB＝﹣1，即

•

＝﹣1，解得x₂＝﹣

，Q（﹣

，0），
由﹣17＜﹣8＜﹣

，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，
所以P，Q中不能有点选在D点；
（3）设P（a，0），Q（b，0），由（1）（2）可得a≤﹣17，b≥﹣

，
由两点的距离公式可得PB²＝（a+8）²+144≥225，当且仅当a＝﹣17时，d＝|PB|取得最小值15，
又QA²＝b²+36≥225，则b≥3

，当d最小时，a＝﹣17，b＝3

，PQ＝17+3

．

[点评]

本题考查了"直线和圆的方程的应用，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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（1）当b＝0，

，

，n＝2时，分别求线段OP和OQ的长度；
（2）①求证：

．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．

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（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程．

共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:2

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共享时间:2021-02-28 难度:5 相似度:2

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2024-12-24

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