如图在棱长为的正方体中点是正方体的上底面内不含边界的动点点是棱的中点则以下命题正确的是三棱锥的体积是定值存在点使得与所成的角为直线与平面所成角的正弦值的取值范围为若则的轨迹的长度为

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首页 > 试题列表 > 单题解析

166423. （2024•西光中学•高二上一月）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体的上底面A₁B₁C₁D₁内（不含边界）的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是（　　）

A.三棱锥Q﹣PCD的体积是定值

B.存在点P，使得PQ与AA₁所成的角为60°

C.直线PQ与平面A₁ADD₁所成角的正弦值的取值范围为

D.若PD₁＝PQ，则P的轨迹的长度为

共享时间:2024-10-12 难度:4

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[考点]

棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，

[答案]

ACD

[解析]

解：对于A，

（定值），故A正确；
以A₁为坐标原点，A₁B₁为x轴，A₁D₁为y轴，A₁A₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则Q（2，1，﹣2），设P（x，y，0）（0＜x＜2，0＜y＜2），
则

，
对于B，

，
PQ与AA₁的夹角α满足

，故B错误；
对于C，平面A₁ADD₁的法向量为

＝（1，0，0），
∴直线PQ与平面A₁ADD₁所成的角β的正弦值为

，故C正确；
对于D，D₁（0，2，0），

，
由PD₁＝PQ可得x²+（y﹣2）²＝（x﹣2）²+（y﹣1）²+4，
化简可得4x﹣2y﹣5＝0，
在xA₁y平面内，令x＝2，得

，
令y＝0，得

，
所以P的轨迹的长度为

，D正确．
故选：ACD．

[点评]

本题考查了"棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167685. （2024•西安中学•五模）已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，过底边BC的平面与上底面交于线段MN，若截面BCMN将三棱柱分成了体积相等的两部分，则

＝（　　）

A.

B.

C.

D.．

共享时间:2024-05-09 难度:2 相似度:1.5

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166868. （2024•西安八十三中•高二上二月）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，H为棱AA₁上的动点，下列正确的是（　　）

A.．CH⊥BD

B.．二面角D₁﹣AB₁﹣C的大小为

C.三棱锥H﹣BCC₁的体积为定值

D.若CH⊥平面β，则直线CD与平面β所成角的正弦值的取值范围为

共享时间:2024-12-23 难度:5 相似度:1.35

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170542. （2021•西安中学•高一上期末）如图，四面体ABCD中，CD＝4，AB＝2，E，F分别是AC，BD的中点，若EF⊥AB，则EF与CD所成的角的大小是（　　）

A.

B.．

C.．

D.．

共享时间:2021-02-10 难度:1 相似度:1.25

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168004. （2023•师大附中•十模）表面积为15π的球内有一内接四面体PABC，其中平面ABC⊥平面PAB，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（　　）

A.．

B.

C.．

D.．

共享时间:2023-07-02 难度:1 相似度:1.25

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168241. （2021•西安中学•五模）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，且E，F分别是AB，CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（　　）

A.30°

B.．45°

C.．60°

D.．90°

共享时间:2021-05-01 难度:1 相似度:1.25

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168445. （2021•西安中学•七模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．1

共享时间:2021-06-02 难度:5 相似度:1.25

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168609. （2021•西安中学•二模）在梯形ABCD中，∠ABC＝

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.

B.．

C.

D.．2π

共享时间:2021-03-17 难度:1 相似度:1.25

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168677. （2021•西安中学•仿真）冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为

cm²的半圆形，则该冰激凌的体积为（　　）

A.

B.

C.

D.

共享时间:2021-06-10 难度:1 相似度:1.25

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168770. （2021•西安中学•八模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，BC的中点为D，A₁D⊥底面ABC，则异面直线AB与CC₁所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

共享时间:2021-06-19 难度:1 相似度:1.25

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168908. （2021•高陵一中•二模）在梯形ABCD中，∠ABC＝

，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A.．

B.

C.．

D.2π

共享时间:2021-03-23 难度:1 相似度:1.25

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168815. （2021•西工大附中•十二模）已知P，Q分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱BB₁，CC₁上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（　　）

A.AB⊥PQ

B.AD₁与PQ不会相交

C.四面体ABPQ的体积为定值

D.AP∥平面CDD₁C₁

共享时间:2021-07-26 难度:1 相似度:1.25

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169040. （2020•西工大附中•一模）已知圆柱的轴截面周长为12，体积为V，则下列总成立的是（　　）

A.．V≥8π

B.．V≤8π

C.．V≥π

D.V≤π

共享时间:2020-03-01 难度:1 相似度:1.25

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169138. （2020•西工大附中•二模）如图，ABCD是圆柱的轴截面，3AB＝2AD，点E在底面圆周上，且是

的中点，则异面直线AE与BD所成角的正切值为（　　）

A.

B.

C.

D.．

共享时间:2020-03-17 难度:1 相似度:1.25

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169321. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，CA＝CC₁＝2CB＝2，则直线BC₁与直线AB₁夹角的正弦值为（　　）

A.

B.

C.．

D.．

共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.25

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169557. （2024•师大附中•高二下期末）．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（　　）

A.8：5

B.．4：5

C.．2

：5

D.4：11

共享时间:2024-07-27 难度:1 相似度:1.25

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更新:2024-10-12 05:09浏览量:23