许多数学问题源于生活雨伞是生活中的常用物品我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞如图可以发现数学研究的对象抛物线在如图所示的直角坐标系中伞柄在轴上坐标原点为伞骨的交点点为抛物线的顶点点在抛物线上关于轴对称分米点到轴的距离是分米两点之间的距离是分米求抛物线的表达式分别延长交抛物线于点求两点之间的距离以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为将抛物线向右平移

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212575. （2024•曲江一中•八模）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S₁，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S₂．若S₂=

S₁，求m的值．
$德优题库$

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[考点]

二次函数综合应用，

[答案]

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[解析]

解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax²+c，
由题意得，点A的坐标为：（2，0.6）、点C（0，1），
则

，解得：

，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x²+1①；

（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝0.3x②，
联立①②得：0.3x＝﹣0.1x²+1，
解得：x＝2（舍去）或﹣5，
即点F（﹣5，﹣1.5），
则EF＝5×2＝10；

（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）²+1，
令x＝0，则y＝﹣0.1m²+1，此时抛物线与y轴的交点为D（0，﹣0.1m²+1），
∵平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S₂＝

S₁，
则OD＝

OC，
即|﹣0.1m²+1|＝

×1，
解得：m＝±2或±4（舍去负值），
即m＝2或4．

[点评]

本题考查了""，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

173843. （2024•高新一中•九上二月）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以D、E、P、Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-12-10 难度:5 相似度:2

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:2

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172868. （2024•逸翠园中学•九上四月）如图，直线

与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线

经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请求出点M的坐标．

共享时间:2024-01-28 难度:5 相似度:2

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173033. （2024•高新一中•九上二月） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+2x+c（a,c为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，且与y轴交于点C（0，3），直线y=-x-1经过点A且与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）Q点在x轴上且位于点B的左侧，连接BD，若以Q，B，C为顶点的三角形与△ABD相似，求点Q的坐标．

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173213. （2024•西光中学•九上二月）如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且A的坐标为（2，0），与y轴交于点C，连接BC，抛物线的对称轴为直线

，D为第一象限内抛物线上的一个动点．过点D作DE⊥OA于点E，DE与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:2

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1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:2

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173601. （2024•铁一中学•九上二月）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段EF长度最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在点E，使得tan∠FCE＝3，若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-12-20 难度:5 相似度:2

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880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:2

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809. （2015•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

共享时间:2015-08-18 难度:4 相似度:2

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440. （2016•陕西省•副题）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:2

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359. （2012•红星高中•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:2

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81. （2020•陕西省•模拟）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:2

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:2

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651. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1.5

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2024-06-15

初中数学 | | 解答题

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2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学八模试卷

更新:2024-06-15 04:03浏览量:36

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