已知抛物线与轴交于点和点与轴交于点求抛物线的顶点坐标和点坐标如何平移抛物线得到抛物线使得平移后的抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原点对称将抛物线平移使其经过点得到抛物线点是抛物线上的一点是否存在点使得为等腰直角三角形若存在请直接写出抛物线的表达式若不存在请说明理由

首页 > 试题列表 > 单题解析

4688. （2018•交大附中•模拟）已知，抛物线L：y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（-3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L的顶点坐标和A点坐标．
（2）如何平移抛物线L得到抛物线L₁，使得平移后的抛物线L₁的顶点与抛物线L的顶点关于原点对称？
（3）将抛物线L平移，使其经过点C得到抛物线L₂，点P（m，n）（m＞0）是抛物线L₂上的一点，是否存在点P，使得△PAC为等腰直角三角形？若存在，请直接写出抛物线L₂的表达式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-06-25 难度:4

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

二次函数的顶点坐标，二次函数与平移问题，二次函数与面积最值问题，二次函数综合应用，等腰直角三角形，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）由题意知c＝3
∴y＝x²+bx+3
∵图象过B（﹣3，0）
∴把B（﹣3，0）代入y＝x²+bx+3中得，
0＝（﹣3）²+（﹣3）b+3，解得，b＝4
∴y＝x²+4x+3
令x²+4x+3＝0
即（x+1）（x+3）＝0
解得，x₁＝﹣1，x₂＝﹣3
∴A（﹣1，0）
设顶点D（h，k）
由h＝﹣

＝﹣

＝﹣2，k＝

＝

＝﹣1
∴D（﹣2，﹣1）
（2）将y＝x²+4x+3化为顶点式得，
y＝（x+2）²﹣1
由题意设平移后的函数图象L₁的顶点坐标为D’（2，1）
∴新函数L₁的顶点式为，y＝（x﹣2）²+1
∴由平移法则得L₁是由L先向右4个单位，再向上2个单位得到的．

（3）存在．
理由如下：依题意设抛物线L₂的解析式为，y＝x²+b'x+3．
如图1，当PA＝PC且PA⊥PC时，
取AC中点Q（﹣

，

），并过Q作QP⊥AC，垂足为Q，截取QP＝QA．
在Rt△CAO中，AC²＝OA²+CO²
∴AC＝

＝

∵Q为AC中点
∴AQ＝

AC＝

又∵PQ⊥AC，PQ＝AQ
∴△AQP为等腰直角三角形
∴AP＝PC＝

AQ＝

＝

过P作直线l⊥x轴于点N，过C作CM⊥l于点M，则易证明△PCM≌△PAN（AAS）
∴CM＝PN
由P（m，n）得，m＝n
∴AN＝1+m
在Rt△APN中得AN²+PN²＝AP²得，
m²+（1+m）²＝5
解得，m₁＝﹣2，m₂＝1
又∵m＞0
∴P（1，1）
由P在抛物线L₂上，则把P（1，1）代入y＝x²+b'x+3得，
1＝1+b'+3，解得b'＝﹣3
此时y＝x²﹣3x+3．
如图2，当AC＝CP且AC⊥CP时，过P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，
同理易证明△PMC≌△AOC（AAS）
∴PM＝OC＝3，OA＝CM＝1，PN＝OC﹣CM＝2
∴P（3，2）
把P（3，2）代入y＝x²+b'x+3得，
2＝9+3b'+3
解得，b'＝﹣

∴此时y＝x²﹣

x+3
如图3，当AC＝AP且AC⊥AP时，过A作直线l⊥x轴于点A，过P、C分别作PM、CN垂直于l于点M、N，
同理易证明△PMA≌△ANC（AAS）
∴PM＝3，AM＝1
∴P（2，﹣1）
把P（2，﹣1）代入y＝x²+b'x+3中得，
﹣1＝4+2b'+3，解得，b'＝﹣4
∴此时y＝x²﹣4x+3
综上所述，满足题意得抛物线L₂的解析式可以为，y＝x²﹣

x+3或y＝x²﹣3x+3或y＝x²﹣4x+3．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用等腰直角三角形二次函数与平移问题二次函数与面积最值问题二次函数的顶点坐标 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199020. （2023•交大附中•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，BC=8．分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．

共享时间:2023-05-25 难度:1 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

197064. （2023•高新一中•九上期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于B，C两点（B点在C点的左侧），与y轴交于点A，抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标及对称轴l．
（2）M为l上一动点，N为抛物线上一动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M、N、O、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-02-26 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

197062. （2023•高新一中•九上期末）如图1，有一块外边缘呈抛物线型的废材料，小成同学想废旧利用，从中截取一个矩形ABCD，使矩形的顶点A、B落在材料的底边MN上，C，D落在外边缘的抛物线上，小成同学量得MN=6dm,抛物线顶点处到边MN的距离是9dm；于是，小成同学在图纸上，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x轴，以1dm为1个单位建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）请你帮小成求出该抛物线的解析式；
（2）小成截下的矩形ABCD的周长能否等于20dm？若能，请求出矩形的边AB的长；若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-02-26 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

196947. （2024•交大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，2），连接OA，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B．
（1）求经过B，O，A三点的抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点D，使得以B，O，A，D为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式；若不存在，说明理由．

共享时间:2024-02-20 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

196658. （2024•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
（1）直接写出以下各点坐标：
A ，B ，C ，M ．
（2）若点P为x轴上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．

共享时间:2024-02-18 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

196309. （2024•高新一中•九上期末）已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．若∠PMN=∠CAO，求出点P的坐标．

共享时间:2024-02-28 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

192276. （2023•曲江二中•九上二月）如图，一次函数

分别交y轴，x轴于A，B两点，抛物线y＝﹣x²+bx+c过A，B两点，点M为直线AB上一个动点，过点M作x轴垂线交抛物线于点N．
（1）求这个抛物线的解析式．
（2）当M在线段AB上时，求MN的最大值．
（3）若△AMN为等腰三角形，求点M的坐标．

共享时间:2023-12-17 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

191997. （2023•陆港中学•九上二月）如图，抛物线C₁：y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线C₁的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，点P为直线BD上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBD的面积最大？并求出这个面积的最大值；
（3）在图2中，将抛物线C₁关于x轴对称，得到新的抛物线C₂：

，新的抛物线与y轴交于点E，点M是y轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-20 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

191917. （2023•西安市航天城第二中学•九上二月）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-12-27 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

191891. （2023•经开二校•九上二月）直线y＝

与抛物线y＝（x﹣3）²﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+

CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　　．

共享时间:2023-12-12 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

190593. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 已知抛物线L：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线 y=x+2 上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L′，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-14 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

189765. （2025•长安区•九上期末）如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若△FCG是以GF，GC为腰的等腰三角形时，求出m的值．

共享时间:2025-02-02 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

190371. （2025•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:1.2

解析

纠错

下载

组卷

189714. （2025•师大附中•九上期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA=12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，与OA交于点H，点P是抛物线的顶点，且PH=9米．如图2，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），且∠OBA=90°．在PH上有个照明灯E，经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD=6），求横梁CD的长．
$德优题库$