如图是的直径点和点在上平分过点作所在直线的垂线垂足为点交的延长线于点求证与相切若半径是求的长

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26019. （2024•铁一中学•一模）如图，AB是⊙O的直径，点C和点E在⊙O上，AC平分∠EAB，过点C作AE所在直线的垂线，垂足为点D，CD交AB的延长线于点P．
（1）求证：⊙O与PD相切．
（2）若AC＝2

，⊙O半径是3，求DE的长．
$德优题库$

共享时间:2024-04-05 难度:4

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[考点]

同位角相等两直线平行，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，

[校正]

[答案]

（1）证明见解答；
（2）DE的长是2．

[解析]

（1）证明：连接OC，则OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC， $菁优网$
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE交AE的延长线于点E，
∴∠OCP=∠D=90°，
∵OC是⊙O的半径，且PD⊥OC，
∴⊙O与PD相切．
（2）解：连接BC、CE，
∵⊙O的半径是3，AB是⊙O的直径，
∴AB=6，∠ACB=90°，
∵∠EAC=∠BAC，AC=2

，
∴

，
∴CE=BC=

，
∵∠CED+∠AEC=180°，∠ABC+∠AEC=180°，
∴∠CED=∠ABC，
∴

=cos∠CED=cos∠ABC=

，
∴DE=

CE=

×2

=2，
∴DE的长是2．

[点评]

本题考查了"同位角相等两直线平行,平行线的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数的性质,圆周角定理,直线与圆的位置关系,切线的判定与性质"，属于"典型题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212396. （2025•交大附中•一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，延长AB到点F，连接CF，若∠BAC＝2∠BCF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AD＝3，OA＝

，求FB的长．

共享时间:2025-03-13 难度:3 相似度:1.38

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27755. （2023•航天中学•九上二月）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为

的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DA=9，DC=3，求⊙O的半径长．
$德优题库$

共享时间:2023-10-10 难度:2 相似度:1.25

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283263. （2023•高新一中•三模） $德优题库$ 如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE=∠ACB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若⊙O的半径是6，AB=8，求EF的长．

共享时间:2023-04-02 难度:2 相似度:1.25

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278559. （2025•铁一中学•九模）为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生．

共享时间:2025-06-20 难度:2 相似度:1.25

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287429. （2020•铁一中学•六模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连接BD．以CD为直径作⊙O．恰好经过点B，过点O作BD的平行线交AB延长线于点E，交BC于点F．
（1）若∠E=∠C，求证：AE是⊙O的切线．
（2）在（1）的条件下，若EF=4，BD：EO=2：5，求⊙O的半径．

共享时间:2020-05-25 难度:2 相似度:1.25

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278568. （2025•铁一中学•九模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．
（1）求证：OE∥AC；
（2）如果AB=10，AD=6，求EF的长．

共享时间:2025-06-20 难度:2 相似度:1.25

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290427. （2021•西工大附中•三模） $德优题库$ 如图所示，△ABC中，点D是AB上一点，且AD=CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，且点F是半圆CD的中点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若tanB=2，AB=9，求BE的长度．

共享时间:2021-04-08 难度:4 相似度:1.13

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279459. （2024•高新一中•三模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB=ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF=2，tanA=2，求BE的长．

共享时间:2024-04-01 难度:4 相似度:1.13

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282165. （2023•师大附中•二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanB＝

，⊙O的半径为5，求线段CF的长．

共享时间:2023-03-22 难度:4 相似度:1.13

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284297. （2023•铁一中学•三模） $德优题库$ 如图，已知等腰△ABC，AB=AC，AD平分∠BAC，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OB与EF交于点P，若OG=3，EG=4，求PG的长．

共享时间:2023-04-03 难度:4 相似度:1.13

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．