问题背景课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题如图中若求边上的中线的取值范围小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法延长到点使则得到小明证明用到的判定定理是用字母表示问题解决小明发现解题时条件中若出现中点中线字样可以考虑延长中线构造全等三角形把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中请写出小明解决问题的完整过程拓展应用以的边

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24222. （2021•交大附中•七下期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=4，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
$德优题库$
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM=3时，求DE的长．

共享时间:2021-05-06 难度:5

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相似

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[考点]

三角形三边关系，三角形综合题，全等三角形的判定与性质，倍长中线思想，

[答案]

（1）问题背景：SAS；问题解决：见解析；拓展应用：DE=6．

[解析]

解：问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，

，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，

，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝

AE，
∴

＜AD＜

；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，

由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∵AC＝AD，AC∥BN，
∴BN＝AD，
∵AC∥BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，

，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．

[点评]

本题考查了"三角形三边关系,三角形综合题,全等三角形的判定与性质,倍长中线思想"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

185203. （2025•西工大附中•七下期中）问题探究
（1）如图①，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4．点P为直线l上的动点，则AP+BP的最小值为；
（2）如图②，已知△ABC边AC上有一点D，且满足AD=CB，过点A作AE∥BC，并截取AE=AC，连接ED，求证：ED=AB；
问题解决
（3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的△ABC，其中CD为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，点F分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即BE+AF最小．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=55°，CD⊥AB，垂足为点D．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当BE+AF最小时，∠AFD的度数；若不能，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-05-14 难度:2 相似度:1.5

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181178. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，连接BD，过C作CE∥AB，且CE=AD，连接AE．
求证：BD=AE．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.25

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174024. （2024•西工大附中•九上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=BC，延长BC到点E，连接DE，AE，且∠D=∠AEC，BC=3，CE=2，求AD的长．

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:1.25

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173335. （2024•爱知中学•九上一月） $德优题库$ 如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．

共享时间:2024-10-12 难度:1 相似度:1.25

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173361. （2024•爱知中学•八上一月）（1）如图①，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（2，m）、（5，m），则AB=       ；
（2）平面自角坐标系中．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则PQ=       ；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，C、D的坐标分别为（5，4）、（1，1），则CD=       ；
（4）如图③，平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标为A（3，1），B（-3，3），C（-1，-1），试确定△ABC的形状，并说明理由；
【附加题】如图④，点E在x轴上，点F在y轴上，其坐标分别为E（4，0）、F（0，3），请问在y轴上是否存在一点G，使得△EFG是等腰三角形，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． $德优题库$

共享时间:2024-10-28 难度:1 相似度:1.25

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173380. （2024•爱知中学•八上一月）（1）如图①，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（2，m）、（5，m），则AB=       ；
（2）平面直角坐标系中．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则PQ=       ；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，C、D的坐标分别为（5，4）、（1，1），则CD=       ；
（4）如图③，平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标为A（3，1），B（-3，3），C（-1，-1），试确定△ABC的形状，并说明理由；
【附加题】如图④，点E在x轴上，点F在y轴上，其坐标分别为E（4，0）、F（0，3），请问在y轴上是否存在一点G，使得△EFG是等腰三角形，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-10-30 难度:1 相似度:1.25

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173424. （2024•新城一中•九上二月） $德优题库$ 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，点E在线段BC上，求证：AE=AC．

共享时间:2024-12-12 难度:1 相似度:1.25

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190038. （2025•爱知中学•八上期末） $德优题库$ 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，点E、F在BC上，AE、DF交于点O，已知AC=DB，AE=DF．求证：CF=BE．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.25

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173767. （2024•经开一校(原经发)•八上一月）问题提出：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，则CD＝　

　．
方法探究：
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
问题解决：
（3）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求AD长．

共享时间:2024-10-17 难度:1 相似度:1.25

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174054. （2024•西工大附中•八上一月）【问题发现】：
小明和小亮两位同学在研究三角形面积转换时发现：如图所示，若直线l₁∥l₂，则S_△ABC=S_△ABD．
$德优题库$
【问题探究】：
（1）如图①，△ABC中，点D为BC中点；连接AD，则S_△ABD S_△ACD（填“=”或“≠”）
（2）如图②，四边形ABCD，请画图在射线BC上找出一点E，使S_{四边形ABCD}与S_△ABE相等，并说明理由．【问题解决】
（3）如图③，在平面直角坐标系中，有四边形OABC，点A，B在第一象限，点C坐标为（8，0），∠AOC=∠BCO=60°，OA=4，BC=6，点P为AB中点，是否存在过点P的一条直线将四边形OABC面积平分，若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-10-22 难度:1 相似度:1.25

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190325. （2025•高陵区•八上期末）问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，且到直线l的距离AM=1，BN=2，P是直线l上的一点．若MN=4，则PA+PB的最小值为．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，点A，B到直线l的距离AM=1，BN=2，P是直线l上的一点．若MN=4，求PA+PB的最小值．
问题解决
（3）某市进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强本市老旧小区居民的幸福感与安全感．如图3，OM是原有天然气管道，ON是一条与OM垂直的街道，A，B是位于OM，ON内部的两个老旧小区，且小区A与OM的距离为2km,与ON的距离为6.5km,小区B与OM的距离为5km,与ON的距离为2.5km.现计划从OM处选一点P，铺设燃气管道PA，AB，PB．若1km的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号）
$德优题库$

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.25

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189735. （2025•师大附中•八上期末） $德优题库$ 如图，点D和点C在线段BE上，AB=EF，AB∥EF，AC∥DF．求证：BD=CE．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.25

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174198. （2024•铁一中学•八上一月）【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝∠ADB＝45°，探究线段AB、AD、CD之间的数量关系．
小明同学的想法是：过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E，则△EBD是等腰直角三角形，可通过证明△DBC≌△EBA，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：AD²+CD²＝2AB²．请根据小明的思路，完成以下证明过程：
（1）①求证：△DBC≌△EBA；
②求证：AD²+CD²＝2AB²．
【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若

，CD＝6，点F是AD的中点，求BF的长．
【拓展探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝45°，若AD＝3，CD＝2，则当BD最大时，△ABC的面积为　

　．

共享时间:2024-10-17 难度:1 相似度:1.25

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189707. （2025•师大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAD=∠CAE，AC=AE．求证：BC=DE．

共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.25

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185674. （2024•滨河中学•八下期中）【发现问题】
如图1，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD；由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD；由已知∠APC＝150°，可知∠PDB的大小，进而可求得PB的长．
（1）请回答：在图1中，∠PDB＝　　，PB＝　　．
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，